Две резинки
На горизонтальной поверхности в точке удерживают шайбу массой , связанную с двумя невесомыми резинками, продетыми через зафиксированные на этой поверхности гладкие колечки и . Другие концы резинок закреплены в точках и , при этом , , (рис. 1).
Длины обеих резинок в свободном состоянии равны , а коэффициенты жёсткости , , где — известная величина. Коэффициент трения шайбы о поверхность равен , а резинки не касаются поверхности. Ускорение свободного падения . Шайбу отпускают.
1. Найдите максимальную скорость шайбы в процессе дальнейшего движения.
2. Определите время от момента старта до момента, когда максимальная скорость достигается.
Решение.
Найдём равнодействующая сил упругости, действующих на шайбу при её произвольном положении. Обозначим положение шайбы точкой , середину отрезка — точкой . Также обозначим векторы , (рис. 1.)
Тогда удлинения резинок равны длинам отрезков и , а равнодействующая сил упругости:
Таким образом, равнодействующая сила всегда направлена к точке , являющейся серединой отрезка (рис. 2), и пропорциональна расстоянию до неё от точки с коэффициентом жёсткости .
Следовательно, всё движение шайбы будет происходить по прямой , как если бы она находилась под воздействием пружины с коэффициентом жесткости и имела положение равновесия в точке .
Задача свелась к исследованию движения по прямой в присутствии сухого трения. Длина отрезка равна
начальное значение силы упругости
Если максимальная сила трения покоя превышает её, то есть — шайба не начнет движение, и её скорость останется равной .
В противном случае шайба придет в движение, для описания которого введем ось с началом в точке , направленную к точке . Уравнение движения шайбы от момента начала движения до момента первой остановки шайбы:
заменой
приводится к уравнению гармонических колебаний
с нулевой начальной скоростью и начальным отклонением от «смещенного» положения равновесия
Тогда ясно, что максимальная скорость шайбы достигается при прохождении «смещенного» положения равновесия и определяется из закона сохранения энергии:
После этого момента времени скорость шайбы будет уменьшаться вплоть до остановки, после которой нам снова нужно будет сравнивать силу упругости пружины с максимальной величиной силы трения (чтобы выяснить, начнется ли возвратное движение шайбы). Но в любом случае, поскольку механическая энергия системы убывает за счет работы силы трения, максимумы скорости на новых полупериодах движения будут меньше уже найденного.
Как было показано при решении первого пункта, при максимальная скорость движения шайбы достигается в её положении равновесия, т.е. через четверть периода колебаний
после старта. При — движение не начнётся.
Определено положение равновесия без учёта силы трения
Показано, что результирующая сила упругости всегда направлена к положению равновесия
Найден эффективный коэффициент жёсткости
Получены условия, при которых шайба не начнёт движение:
Утверждение о прямолинейности движения (есть утверждения о начальной нулевой скорости и постоянстве направления вектора результирующей силы)
Утверждение о прямолинейности движения (без утверждения о нулевой начальной скорости)
Максимум скорости достигается при нулевом ускорении (или аналогичное утверждение)
Определено положение тела в момент достижения максимальной скорости:
Закон изменения энергии для нахождения максимальной скорости
Определена максимальная скорость:
Показано, что движение до смещённого положения равновесия описывается законом гармонического колебания
Определёна циклическая частота таких колебаний (или соответствующий ей период): или
Утверждение о том, что время достижения максимальной скорости равно четверти периода таких колебаний