Три тигра
Три тигра одновременно начинают движение по горизонтальной поверхности с постоянными по модулю скоростями. Скорость первого тигра в любой момент времени направлена на второго, скорость второго — на третьего, а скорость третьего — на первого.
В начальный момент времени тигры образуют прямоугольный треугольник с катетами, равными (рис. 1). Считайте размеры тигров много меньшими . Модуль скорости первого тигра , где — известная величина, а скорости второго и третьего тигров и таковы, что в процессе движения углы в треугольнике , образованном тиграми, остаются постоянными. Введём систему координат так, как показано на рисунке. Начало координат совпадает с положением первого тигра в момент старта (точкой ).
При ответе на первые три вопроса считайте, что тигры не проскальзывают по поверхности и могут развивать любое усилие.
Найдите:
1. время , через которое тигры встретятся;
2. модули скоростей второго и третьего тигров и ;
3. координаты точки, в которой тигры встретятся.
В действительности движение тигров ограничивается коэффициентами трения их лап о поверхность. Для каждого тигра он одинаков и равен . Ускорение свободного падения .
4. В течение какого времени с момента старта тигры могут поддерживать такое движение?
Решение.
Поскольку углы в треугольнике, образованном тиграми, остаются постоянными, то в любой момент времени образованный тиграми треугольник подобен исходному. Из этого следует, что все тигры встретятся одновременно.
Найдем скорость изменения расстояния . Так как модули скоростей тигров и углы между ними остаются постоянными, то искомая скорость равна и она постоянна. Время до встречи первого и второго тигров равно .
Выразим скорости изменения расстояний и :
Поскольку углы в треугольнике остаются постоянными, сохраняются и соотношения между его сторонами. Это означает, что скорости изменений сторон треугольника им пропорциональны:
Найдём :
Теперь найдём :
Поскольку модуль скорости второго тигра всегда вдвое меньше модуля скорости первого тигра, а направления скоростей в любой момент взаимно перпендикулярны, то траектории их движения будут подобны друг другу с коэффициентом подобия . Отсюда следует, что вектора перемещения также будут взаимно перпендикулярны и отличаться по модулю в два раза.
Можно доказать это и строго математически. Рассмотрим малый момент времени . Пусть угол между скоростью первого тигра и осью равен , тогда угол между скоростью второго тигра и осью будет равен . Запишем изменения координат тигров за малое время:
Из полученных уравнений видно, что для любого момента времени
это означает, что вектора полных перемещений также отличаются в два раза по модулю и взаимно перпендикулярны. Поскольку тигры встретились:
Тогда из прямоугольного треугольника находим:
Величины ускорений тигров не должны превышать , поскольку сила трения — единственная сила, действующая на них в горизонтальной плоскости. Ускорения тигров имеют только нормальную компоненту. Заметим, что в любой момент векторы скоростей тигров вращаются с одинаковыми угловыми скоростями, равными угловой скорости вращения треугольника в данный момент времени. Найдём её, рассматривая движение второго тигра относительно первого:
тогда для ускорений получим:
Ускорение первого тигра всегда больше ускорений двух других, значит, он первым не сможет поддерживать данное движение. Для зависимости от времени получим:
откуда:
Проанализируем полученный ответ. При малых значениях коэффициента трения тигры не смогут даже начать такое движение, поэтому:
иначе:
Показано, что скорость сближения и тигров постоянна и равна
Определено время встречи
Отношение скоростей сближения равно отношению сторон
Выражение для скорости сближения и тигров
Выражение для скорости сближения и тигров
Равенство угловых скоростей вращения сторон треугольника
Выражение для угловой скорости вращения стороны :
Выражение для угловой скорости вращения стороны :
Выражение для угловой скорости вращения стороны :
Найдена скорость
Найдена скорость
Указано, что для длительного периода времени: векторы перемещений и тигров взаимно перпендикулярны; модули перемещений соотносятся как
Обоснованно, что для длительного периода времени: векторы перемещений и тигров взаимно перпендикулярны; модули перемещений соотносятся как
Верно записано условие встречи тигров
Верные утверждения, позволяющие определить место встречи
Утверждение полностью обоснованно
Утверждение частично обоснованно
Верная координата
Верная координата
Выражение для ускорений тигров через угловую скорость вращения сторон
Выражение для угловой скорости вращения
Выражение для ускорений тигров от времени
Определение какой из тигров раньше начнет проскальзывать
Определено время
Рассмотрен случай при