Три тигра
Три тигра одновременно начинают движение по горизонтальной поверхности с постоянными по модулю скоростями. Скорость первого тигра в любой момент времени направлена на второго, скорость второго — на третьего, а скорость третьего — на первого.
В начальный момент времени тигры образуют прямоугольный треугольник с катетами, равными (рис. 1). Считайте размеры тигров много меньшими . Модуль скорости первого тигра , где — известная величина, а скорости второго и третьего тигров и таковы, что в процессе движения углы в треугольнике , образованном тиграми, остаются постоянными. Введём систему координат так, как показано на рисунке. Начало координат совпадает с положением первого тигра в момент старта (точкой ).
При ответе на первые три вопроса считайте, что тигры не проскальзывают по поверхности и могут развивать любое усилие.
Найдите:
1. время , через которое тигры встретятся;
2. модули скоростей второго и третьего тигров и ;
3. координаты точки, в которой тигры встретятся.
В действительности движение тигров ограничивается коэффициентами трения их лап о поверхность. Для каждого тигра он одинаков и равен . Ускорение свободного падения .
4. В течение какого времени с момента старта тигры могут поддерживать такое движение?
Ответ
Решение.
Поскольку углы в треугольнике, образованном тиграми, остаются постоянными, то в любой момент времени образованный тиграми треугольник подобен исходному. Из этого следует, что все тигры встретятся одновременно.
Найдем скорость изменения расстояния . Так как модули скоростей тигров и углы между ними остаются постоянными, то искомая скорость равна и она постоянна. Время до встречи первого и второго тигров равно .
Выразим скорости изменения расстояний и :
Поскольку углы в треугольнике остаются постоянными, сохраняются и соотношения между его сторонами. Это означает, что скорости изменений сторон треугольника им пропорциональны:
Найдём :
Теперь найдём :
Поскольку модуль скорости второго тигра всегда вдвое меньше модуля скорости первого тигра, а направления скоростей в любой момент взаимно перпендикулярны, то траектории их движения будут подобны друг другу с коэффициентом подобия . Отсюда следует, что вектора перемещения также будут взаимно перпендикулярны и отличаться по модулю в два раза.
Можно доказать это и строго математически. Рассмотрим малый момент времени . Пусть угол между скоростью первого тигра и осью равен , тогда угол между скоростью второго тигра и осью будет равен . Запишем изменения координат тигров за малое время:
Из полученных уравнений видно, что для любого момента времени
это означает, что вектора полных перемещений также отличаются в два раза по модулю и взаимно перпендикулярны. Поскольку тигры встретились:
Тогда из прямоугольного треугольника находим:
Величины ускорений тигров не должны превышать , поскольку сила трения — единственная сила, действующая на них в горизонтальной плоскости. Ускорения тигров имеют только нормальную компоненту. Заметим, что в любой момент векторы скоростей тигров вращаются с одинаковыми угловыми скоростями, равными угловой скорости вращения треугольника в данный момент времени. Найдём её, рассматривая движение второго тигра относительно первого:
тогда для ускорений получим:
Ускорение первого тигра всегда больше ускорений двух других, значит, он первым не сможет поддерживать данное движение. Для зависимости от времени получим:
откуда:
Проанализируем полученный ответ. При малых значениях коэффициента трения тигры не смогут даже начать такое движение, поэтому:
иначе: