Черепахи
Три черепахи, движущиеся с постоянными по модулю скоростями и все время поддерживающие курс одна на другую, в момент запуска секундомера находились в вершинах равнобедренного прямоугольного треугольника с катетами длиной (рис. 2).
Скорость первой черепахи , где — известная величина, а скорости второй и третьей черепах и таковы, что в процессе их движения углы в треугольнике, образованном черепахами, не изменяются. Найдите:
1. время , через которое черепахи встретятся;
2. модули скоростей и второй и третьей черепах;
3. ускорения черепах в начальный момент времени;
4. на каком расстоянии от места старта первой черепахи произойдет их встреча.
Ответ
Решение.
Поскольку скорости черепах все время направлены от одной черепахи к другой и постоянны по модулю, расстояния между каждой из них уменьшаются с постоянными скоростями. Обозначим скорости изменения расстояний , и за , и . Они равны:
Откуда находим:
Поскольку углы в треугольнике остаются постоянными, сохраняются и соотношения между его сторонами. Это означает, что скорости изменений сторон треугольника пропорциональны их длинам:
Найдём :
Аналогично находим :
Ускорения черепах имеют только нормальную компоненту. Заметим, что в любой момент векторы скоростей черепах вращаются с одинаковыми угловыми скоростями, равными угловой скорости вращения треугольника. Найдем эту угловую скорость, рассматривая движение второй черепахи относительно первой:
В начальный момент она равна:
Тогда для ускорений в начальный момент получим:
Откуда:
Поскольку модуль вектора скорости второй черепахи всегда вдвое меньше модуля вектора скорости первой черепахи, а направления этих скоростей взаимно перпендикулярны, таким же будет соотношение между векторами их перемещений и . Так как черепахи встретились:
Применив теорему Пифагора для прямоугольного треугольника найдем: