Черепахи

Очень сложная
Механика
Источник:
Всероссийская олимпиада школьников по физике, Заключительный (9-11 классы), 2022, 9 класс

Три черепахи, движущиеся с постоянными по модулю скоростями и все время поддерживающие курс одна на другую, в момент запуска секундомера находились в вершинах равнобедренного прямоугольного треугольника с катетами длиной (рис. 2).

Рисунок из условия

Скорость первой черепахи , где — известная величина, а скорости второй и третьей черепах и таковы, что в процессе их движения углы в треугольнике, образованном черепахами, не изменяются. Найдите:

1. время , через которое черепахи встретятся;

2. модули скоростей и второй и третьей черепах;

3. ускорения черепах в начальный момент времени;

4. на каком расстоянии от места старта первой черепахи произойдет их встреча.

Войдите, чтобы проверять ответы

Решение.

Поскольку скорости черепах все время направлены от одной черепахи к другой и постоянны по модулю, расстояния между каждой из них уменьшаются с постоянными скоростями. Обозначим скорости изменения расстояний , и за , и . Они равны:

Откуда находим:

Поскольку углы в треугольнике остаются постоянными, сохраняются и соотношения между его сторонами. Это означает, что скорости изменений сторон треугольника пропорциональны их длинам:

Найдём :

Аналогично находим :

Ускорения черепах имеют только нормальную компоненту. Заметим, что в любой момент векторы скоростей черепах вращаются с одинаковыми угловыми скоростями, равными угловой скорости вращения треугольника. Найдем эту угловую скорость, рассматривая движение второй черепахи относительно первой:

В начальный момент она равна:

Тогда для ускорений в начальный момент получим:

Откуда:

Поскольку модуль вектора скорости второй черепахи всегда вдвое меньше модуля вектора скорости первой черепахи, а направления этих скоростей взаимно перпендикулярны, таким же будет соотношение между векторами их перемещений и . Так как черепахи встретились:

Рисунок к решению

Применив теорему Пифагора для прямоугольного треугольника найдем:

1

Найдена скорость изменения стороны

0.5
2

Найдено время , через которое черепахи встретятся

0.5
3

Составлено выражение для скорости

1
4

Составлено выражение для скорости

1
5

Найдена скорость

0.5
6

Найдена скорость

0.5
7

Обосновано, что полное ускорение равно нормальному

0.5
8

Найдены скорости поворота векторов , ,

0.5
9

Формула или аналогичная

0.5
10

Найдено ускорение

0.5
11

Найдено ускорение

0.5
12

Найдено ускорение

0.5
13

Найдено отношение модулей перемещений

2
14

Показано, что угол между векторами и прямой

2.5
15

Найдено расстояние

0.5
Максимум: 12

Похожие задачи

Три тигра

Три тигра одновременно начинают движение по горизонтальной поверхности с постоянными по модулю скоростями. Скорость первого тигра в любой момент времени направлена на второго, скорость второго — на третьего, а скорость третьего — на первого. Рис. 1. Начальное положение тигров В начальный момент врем
Очень сложная
Механика

Из лунки в поле

В поле находится лунка, из которой вылетает маленький шарик. Непосредственно перед вылетом скорость шарика равна vec v0 и направлена вертикально вверх. В момент вылета шарик абсолютно упруго сталкивается со вторым таким же шариком, который перед ударом покоился на уровне поверхности поля.
Очень сложная
Механика

Угловая высота камня

Кот Леопольд стоит на горизонтальной поверхности земли на некотором расстоянии L от вертикального обрыва скалы. С края обрыва мыши бросают камень таким образом, что вектор начальной скорости камня vec v0, модуль которой равен v0=10,м/с, направлен перпендикулярно лучу зрения Лео
Очень сложная
Механика

Две резинки

На горизонтальной поверхности в точке O удерживают шайбу массой m, связанную с двумя невесомыми резинками, продетыми через зафиксированные на этой поверхности гладкие колечки B и C. Другие концы резинок закреплены в точках A и D, при этом AB=CD=L, BC=2L, BO=CO=Lsqrt2 (рис. 1). Рис. 1. Шайба, резинки
Очень сложная
Механика