Из лунки в поле
В поле находится лунка, из которой вылетает маленький шарик. Непосредственно перед вылетом скорость шарика равна и направлена вертикально вверх. В момент вылета шарик абсолютно упруго сталкивается со вторым таким же шариком, который перед ударом покоился на уровне поверхности поля.
После удара шарики движутся под действием только силы тяжести и падают где-то в поле. Удар шариков о поле абсолютно неупругий.
1. Найдите максимально возможное расстояние между точками падения шариков.
2. Найдите максимально возможное расстояние от лунки до места падения одного из шариков.
Поверхность поля считайте горизонтальной. Размеры лунки и шариков малы по сравнению с и .
1. Воспользуемся законами сохранения импульса и энергии при соударении:
Возведем ЗСИ в квадрат, получим:
С учетом ЗСЭ получим
Поскольку и , то треугольник скоростей является прямоугольным и вписан в окружность с диаметром .
Введём в точке старта систему координат , где ось направлена вертикально вверх, а ось направлена горизонтально. Далее под и подразумеваются соответственно модули горизонтальной и вертикальной составляющих компонент скоростей -го шарика сразу после удара. Отметим, что .
Найдём дальность полета -го шарика:
Для расстояния между точками падения шариков имеем:
Таким образом, расстояние между точками падения максимально при максимальном значении , равном радиусу окружности или . Таким образом, ответ на первый вопрос:
2. Максимальная дальность полета одного из шариков соответствует максимальному значению произведения , следовательно будет одинаковой для обоих шариков.
Произведение геометрически представляет собой площадь прямоугольника со сторонами и . В свою очередь, данная площадь равна площади равнобедренного треугольника с равными сторонами и основанием . Этот треугольник вписан в окружность радиусом . Максимум площади треугольника, вписанного в окружность радиусом , достигается в случае равностороннего треугольника и равен:
откуда:
Применительно к данной задаче записан закон сохранения импульса для упругого соударения шариков в векторной форме или в проекциях на две оси.
Применительно к данной задаче записан закон сохранения энергии для упругого соударения шариков.
Использовано, что .
Доказано, что . Критерии также считаются выполненными, если для упругого нецентрального соударения шаров указано, что в продольном направлении импульс/скорость передаётся полностью, а в поперечном не передаётся.
Выражена дальность полёта одного из шаров: .
Предложен реализуемый способ поиска максимума и для него записаны все необходимые исходные уравнения: получена функция одной переменной для исследования на экстремум; либо функция с известным максимумом (, , , парабола и т.д.); либо функция с максимумом, определяемым алгебраическими методами; либо функция, максимизация которой проводится из геометрических построений; либо функция нескольких переменных, исследуемая на условный экстремум.
Верно определено условие максимальности расстояния между местами падения шариков: или аналогичное ему для угла между и горизонталью. Критерий выполнен только при выполнении критерия 1.6, кроме случая простой арифметической ошибки.
Получен правильный ответ: . Критерий выполнен только при выполнении критерия 1.7.
Предложен реализуемый способ поиска максимума и для него записаны все необходимые исходные уравнения: получена функция одной переменной, у которой считается производная; либо функция с известным максимумом (, , парабола и т.д.); либо рассматривается максимизация площади треугольника, вписанного в окружность; либо получена функция нескольких переменных, исследуемая на условный экстремум. Критерий выполнен только при выполнении критерия 1.6.
Получено условие максимума или аналогичное для угла между и горизонталью. Критерий выполнен только при выполнении критерия 1.6.
Получен правильный ответ: . Критерий оценивается при условии, что , и выполнен только при выполнении критерия 2.2.