Столкновение на спице

Решение.

1. Поскольку цилиндры являются невесомыми, равнодействующая приложенных к ним сил в любой момент должна быть равна нулю. Так как трения между спицей и цилиндрами нет, спица действует на цилиндры в направлении, перпендикулярном спице, то есть в вертикальном. До столкновения цилиндров на них действуют только силы натяжения нитей и силы реакции со стороны спицы. Тогда условие равенства нулю равнодействующей приложенных к цилиндрам сил возможно, если участки нитей, соединяющие цилиндры с бусинкой и грузом, в любой момент ориентированы вертикально. Из этого следует, что столкновение цилиндров произойдёт в момент, когда бусинка, груз и цилиндры будут расположены практически на одной вертикали.

Обратим внимание, что скорость груза в любой момент направлена горизонтально. В момент столкновения цилиндров скорость бусинки также направлена горизонтально. Пусть -- скорость относительного движения бусинки и груза в момент столкновения цилиндров. Определим из закона сохранения механической энергии. К рассматриваемому моменту вертикальное перемещение бусинки направлено вниз и равно , так как нити являются нерастяжимыми. Поскольку система замкнута в направлении спицы -- её импульс в данном направлении равен нулю. Отсюда получим связь скоростей и бусинки и груза соответственно с величиной их относительной скорости в момент столкновения цилиндров:

Запишем закон сохранения механической энергии:

Находим скорости и бусинки и груза соответственно непосредственно перед столкновением цилиндров:

2. В момент столкновения цилиндров все силы, действующие на бусинку и груз, являются вертикальными. Поскольку груз может перемещаться только по горизонтали, его ускорение в рассматриваемый момент равно нулю.

Пусть -- проекция ускорения бусинки в момент столкновения цилиндров на ось, направленную вертикально вверх. Из второго закона Ньютона для бусинки и груза получим:

откуда:

Таким образом, для решения задачи необходимо определить . Далее можно действовать разными способами.

Первый способ:

Пусть и -- ускорения бусинки и груза относительно лабораторной системы отсчёта, а -- ускорение бусинки в системе отсчёта, связанной с грузом. Тогда ускорение бусинки можно представить в следующем виде:

Обратим внимание, что в рассматриваемый момент ускорение груза равняется нулю. Значит, в рассматриваемый момент ускорение бусинки в системе отсчёта, связанной с грузом, направлено вертикально вверх и равно . Дальнейшее решение задачи проведём в системе отсчёта, связанной с грузом. Непосредственно перед столкновением цилиндров относительная скорость бусинки и груза направлена горизонтально, значит:

где -- радиус кривизны траектории бусинки при движении в системе отсчёта груза.

Проанализируем траекторию относительного движения бусинки и груза. В системе отсчёта груза введём систему координат с началом в нижней точке траектории бусинки относительно груза (см. рис). Запишем условие постоянства длины нити 1:

Таким образом, траектория движения бусинки в системе отсчёта груза представляет собой параболу.

Определим радиус кривизны в вершине параболы, используя аналогию со свободным полётом материальной точки в поле тяжести.

Пусть скорость материальной точки в некоторый момент равна и направлена горизонтально. Материальная точка движется в однородном поле тяжести с ускорением свободного падения , направленным вертикально вниз. Введём систему координат , где -- положение точки в рассматриваемый момент, ось направлена горизонтально, а ось направлена вертикально вниз. Тогда через прошедшее время от рассматриваемого момента:

Величина называется фокальным параметром параболы. Определим радиус кривизны траектории материальной точки в вершине параболы. Из второго закона Ньютона в рассматриваемый момент:

Вернёмся к определению радиуса кривизны траектории бусинки в системе отсчёта груза в момент столкновения цилиндров. Фокальный параметр параболы для траектории относительного движения бусинок равен , поэтому радиус кривизны траектории относительного движения бусинок в рассматриваемый момент составляет:

Примечание: Тот же результат может быть получен из непосредственного анализа кривой, задающей траекторию относительного движения бусинки и груза.

Рассмотрим произвольную кривую, заданную зависимостью . Пусть -- угол наклона касательной к кривой. Тогда:

Радиус кривизны произвольной плоской кривой определяется выражением:

где -- элемент длины кривой, а -- угол между касательными к кривой на концах выделенного элемента. Но , поэтому:

Но , поэтому:

Применим полученное выражение в случае рассмотрения траектории движения бусинки относительно груза. Определим и :

Тогда в точке с координатой :

Таким образом:

Второй способ:

В рассматриваемый момент тангенциальное ускорение бусинки равно нулю, поэтому её ускорение определяется выражением:

где -- радиус кривизны траектории бусинки в рассматриваемый момент. Проанализируем траекторию бусинки в лабораторной системе отсчёта. Введём систему координат с началом в нижней точке траектории бусинки. Направления координатных осей совпадают с введёнными на рисунке к первому способу решения. Центр масс системы не перемещается вдоль оси , поэтому:

Запишем условие постоянства длины нити 1:

Отсюда:

Таким образом, траектория движения бусинки в лабораторной системе отсчёта является параболой. Поиск радиуса кривизны в её вершине уже был осуществлён в рамках первого решения, поэтому:

Таким образом:

Третий способ:

Пусть и -- ускорения бусинки и груза относительно лабораторной системы отсчёта, а -- ускорение бусинки в системе отсчёта, связанной с грузом. Тогда ускорение бусинки можно представить в следующем виде:

Обратим внимание, что в рассматриваемый момент ускорение груза равняется нулю. Значит, в рассматриваемый момент ускорение бусинки в системе отсчёта, связанной с грузом, направлено вертикально вверх и равно . Дальнейшее решение задачи проведём в системе отсчёта, связанной с грузом.

Рассмотрим условие постоянства длины нити 1. Пусть в некоторый момент участок нити 1, соединяющий бусинку с грузом, образует угол с вертикалью. Найдём угол между направлением скорости бусинки относительно груза и горизонтом. Поскольку скорости цилиндров направлены горизонтально, длина вертикального участка нити 1, соединяющего бусинку с цилиндром, изменяется со скоростью , равной:

Длина участка нити 1, соединяющего бусинку с грузом, изменяется со скоростью , равной:

Поскольку длина нити 1 остаётся постоянной:

Этот результат можно также получить из условия направления скорости бусинки вдоль биссектрисы внешнего угла между участками нити 1 (см. рис). Это является следствием оптического свойства параболы.

В рассматриваемый момент тангенциальное ускорение бусинки в рассматриваемой системе отсчёта равняется нулю, поэтому для проекции ускорения бусинки на ось, направленную вертикально вверх, имеем:

Найдём величину . Поскольку в рассматриваемый момент расстояние между бусинкой и грузом равно :

Подставляя в выражение для , получим:

Четвёртый способ:

Обозначим за смещение бусинки в направлении «вертикально вниз», за -- расстояние между цилиндрами, а за -- длину участка нити 1, соединяющего груз и бусинку.

Пусть в некоторый момент участок нити 1, соединяющий груз и бусинки, образует угол с вертикалью, тогда и . Из условия нерастяжимости нити получим:

Отсюда:

В рассматриваемый момент . Далее нижний индекс 0 соответствует рассматриваемому моменту. В рассматриваемый момент проекция ускорения бусинки на ось, направленную вертикально вверх, определяется выражением . Дифференцируя по времени, получим:

Продифференцируем по времени величину :

Поскольку в рассматриваемый момент :

Определим величину . Для этого продифференцируем по времени выражение для :

В рассматриваемый момент , а . Тогда:

Таким образом:

Подставляя в выражения для и , находим: