Падение в бездну
Две противоположные стены глубокого ущелья представляют собой участки параллельных вертикальных плоскостей. Однажды в безветренный день экспериментатор Глюк и теоретик Баг расположились на краях различных стен ущелья (см. рис. 2). Линия, соединяющая Глюка и Бага, образует с горизонтом угол . Глюк и Баг бросали одинаковые шарики с одной и той же неизвестной начальной скоростью относительно Земли, причём такой, что ни один брошенный шарик не достиг противоположной стены. Траектории шариков всегда лежали в вертикальной плоскости, содержащей Глюка и Бага. На движущийся шарик действует сила сопротивления воздуха, направленная против скорости движения шарика и прямо пропорциональная ей. Размерами Глюка и Бага можно пренебречь.
После множества проведённых экспериментов Глюк и Баг выяснили следующее:
- если шарик был брошен горизонтально, то он удалялся по горизонтали на расстояние от бросающего (см. рис. 1);
- при одновременных бросках Глюком и Багом шариков горизонтально и под углом к горизонту соответственно (см. рис. 2) в установившемся режиме шарики движутся вдоль одной вертикальной прямой.
Примечание: Приводить аналитические ответы, являющиеся функциями углов и , не обязательно.
1. Определите расстояние между Глюком и Багом (см. рис. 2).
2. Для одновременных бросков Глюком и Багом шариков горизонтально и под углом к горизонту соответственно, как показано на рис. 2, определите расстояние между шариками в установившемся режиме, а также минимальное расстояние между шариками в процессе движения.
Решение.
1. Пусть -- масса шарика, ускорение свободного падения равняется , а сила сопротивления, действующая на шарик, определяется выражением , где -- скорость движения шарика. Запишем для одного шарика второй закон Ньютона:
Проецируя уравнение на горизонтальную ось , получим:
где -- установившееся горизонтальное перемещение шарика с начальной горизонтальной компонентой скорости . Если , где -- начальная скорость шариков при бросании, то . Тогда для шарика, брошенного под углом к горизонту, получим:
Шарики, одновременно брошенные Глюком и Багом горизонтально и под углом к горизонту соответственно так, как показано на рис. 2 в условии задачи, в установившемся режиме движутся вдоль одной вертикальной прямой. Значит, расстояние между плоскостями обрывов является суммой величин горизонтальных перемещений брошенных шариков. Таким образом:
откуда:
2. Первое решение:
Запишем второй закон Ньютона для шариков, брошенных Глюком и Багом:
Определим ускорение шарика Глюка относительно шарика Бага:
Поскольку относительное ускорение шариков направлено противоположно направлению их относительной скорости -- относительная скорость шариков сохраняет своё направление. Значит, относительное движение шариков будет прямолинейным и прекратится, когда они окажутся на одной вертикали. Изобразим траекторию движения шарика Глюка относительно шарика Бага. Обратим внимание, что линия, соединяющая Глюка и Бага, образует с вертикалью угол . Поскольку направление относительной скорости образует угол с горизонтом, угол между направлением относительного перемещения шариков и линией, соединяющей Глюка и Бага, равен . Таким образом, показанный на рисунке треугольник является равносторонним. Тогда расстояние между шариками в установившемся режиме составляет:
или же:
Минимальное расстояние между шариками достигается в момент, когда относительная скорость шариков направлена перпендикулярно соединяющей их линии. Из рисунка находим:
или же:
Второе решение:
Введём систему координат , где начало координат находится в месте расположения Глюка, ось направлена вправо, а ось -- вертикально вверх. Получим зависимости от времени горизонтальных и вертикальных компонент перемещений одного камня и соответственно. Спроецируем уравнение движения шарика на горизонтальную ось :
Пусть -- начальная проекция скорости шарика на ось . Интегрируя, получим:
Интегрируя повторно, получим:
Таким образом, разность координат шариков Бага и Глюка составляет:
С учётом соотношения получим:
Спроецируем уравнение движения шарика на ось , направленную вертикально вверх:
Пусть -- начальная проекция скорости шарика на ось . Интегрируя, получим:
Для имеем:
откуда:
Таким образом, разность координат шариков Бага и Глюка составляет:
С учётом соотношения получим:
При имеем:
Таким образом , а значит:
Пусть . Тогда для расстояния между камнями имеем:
Раскрывая скобки, получим:
Подставляя углы , , а также расстояние :
Расстояние достигает своего минимума при минимальном значении подкоренного выражения, которому соответствует вершина параболы:
Таким образом: