Удаление со льда
Два одинаковых небольших тяжёлых ящика покоятся на горизонтальной поверхности льда. Оба ящика находятся на одинаковом расстоянии от прямолинейного края ледяного поля. Уборщик, вооружённый длинным скребком (плоской прямоугольной пластиной с ручками), подъехал к первому ящику и прижал край скребка к одной из граней ящика. Для этого он развернул скребок так, что его край составил угол с краем поля.
Затем он двигал скребок поступательно из состояния покоя с постоянным ускорением , направленным перпендикулярно краю поля (см. рисунок). В результате ящик покинул поле за время . Потом уборщик подъехал ко второму ящику и, действуя аналогично, вывез и его за край поля. Он снова вёз скребок поступательно с тем же ускорением, но в этот раз край скребка составлял с краем поля угол . Известно, что коэффициент трения между льдом и обоими ящиками равен , а между скребком и обоими ящиками -- . Ускорение свободного падения . Скребок всё время движения расположен вертикально, ящик от скребка не отрывается.
1. Определите ускорение скребка.
2. Во сколько раз путь второго ящика до края поля был больше, чем у первого?
3. За какое время второй ящик покинет лёд?
4. Во сколько раз сила трения между скребком и вторым ящиком больше, чем сила трения между скребком и первым ящиком?
Автор задачи: Константин Парфёнов.
Решение.
1. Возможны два различных режима движения ящика: без скольжения по скребку (рис. 1) и с проскальзыванием (рис. 2).
В первом режиме полная реакция опоры (результирующая силы нормальной реакции скребка и силы трения действующей на ящик со стороны скребка) направлена вдоль направления движения скребка, поэтому:
Поскольку сила трения покоя удовлетворяет соотношению , то первый режим реализуется при условии:
Если данное условие не выполняется, то реализуется второй режим. Во втором режиме сила трения , действующая на ящик со стороны льда, направлена противоположно , поскольку ящик изначально неподвижен. При этом образует угол с нормалью к поверхности скребка и угол с направлением ускорения скребка. Значит и направление движения ящика образует угол с направлением ускорения скребка.
Для первого ящика , значит он движется без скольжения по скребку. Для второго ящика , и для него реализуется второй режим. Тогда путь первого ящика до границы ледяного поля , а значит ускорение скребка:
2. Найдём путь второго ящика, зная, что его направление движения образует угол с направлением ускорения скребка и ящик двигался из состояния покоя:
Следовательно, отношение путей второго и первого ящиков:
3. Поскольку второй ящик движется без отрыва от скребка -- проекции скорости ящика и скребка на направление нормали к поверхности скребка в любой момент должны быть одинаковы:
Тогда, поскольку ящик и скребок движутся поступательно -- проекции ускорений ящика и скребка на направление нормали к поверхности скребка также должны совпадать:
Векторы ускорения и образуют углы и соответственно с нормалью к поверхности скребка:
Тогда во втором режиме для времени движения ящика до края поля находим:
4. Для нахождения силы трения между первым ящиком и скребком расставим силы, действующие на ящик, и запишем второй закон Ньютона в проекции на горизонтальную ось, параллельную плоскости скребка:
Для второго ящика из второго закона Ньютона в проекции на горизонтальную ось, направленную вдоль нормали к поверхности скребка, получим:
Таким образом, отношение сил трения между скребком и ящиком в двух режимах: