Туда-сюда
На плоской доске, образующей с горизонтом угол , находится маленькая шайба.
Коэффициент трения между шайбой и доской равен . Вблизи основания доски шайбе сообщают скорость , и она движется по доске, пока снова не достигнет основания. Основание доски горизонтально. Известно, что в моменты старта и повторного достижения основания доски вектор скорости шайбы образовывал углы и соответственно с положительным направлением оси , направленной вверх по доске (см. рис). Ускорение свободного падения . Шайба не вращается.
Примечание: ответ на каждый из вопросов задачи должен быть как рассчитан, так и выражен аналитически через заданные в условии величины!
1. Определите ускорения шайбы и в момент старта и прямо перед повторным достижением основания доски соответственно.
2. Определите скорости шайбы и в верхней точке траектории и прямо перед повторным достижением основания доски соответственно.
3. Определите время , через которое шайба повторно достигает основания доски.
1. Пусть — масса шайбы. В плоскости доски на шайбу действуют компонента силы тяжести , а также сила трения , причём поскольку :
Изобразим на рисунке компоненту силы тяжести и силу трения, соответствующие углу между направлением скорости шайбы и осью .
Из него следует, что равнодействующая компоненты силы тяжести и силы трения равна:
Тогда для ускорений и имеем:
2. Первое решение:
Равнодействующая компоненты силы тяжести и силы трения направлена вдоль биссектрисы угла между направлением скорости и осью — тангенциальное ускорение шайбы и проекция её ускорения на ось равны друг другу, , поэтому:
Второе решение:
Запишем выражение для тангенциальной и нормальной компонент ускорения:
Отсюда:
Разделим переменные и получим:
Проинтегрируем полученное выражение ():
Избавляясь от логарифма, получим:
Поскольку в верхней точке траектории , для скоростей и имеем:
3. Первое решение:
Обратим внимание, что из найденного во втором пункте инварианта следует:
Интегрируя по времени, получим
где и — изменение координаты тела и пройденный им путь соответственно. К моменту достижения шайбой основания доски , поэтому:
Для определения пути воспользуемся законом изменения кинетической энергии:
Поскольку при достижении основания доски :
откуда
Второе решение:
С учётом полученной зависимости , время можно определить, например, из уравнения для нормальной компоненты ускорения шайбы:
Перейдём к переменной половинного угла:
Воспользуемся стандартной тригонометрической подстановкой . Тогда получим:
Свяжем и :
Отсюда имеем:
Вводя переменные и , для времени получим:
Интегрируя, находим:
Возвращаясь к исходным переменным, для времени находим:
Примечание 1: вообще говоря, задача является переопределённой, поскольку значение однозначно определяется значением , однако в такой формулировке задача становится слишком сложной. Участникам олимпиады было достаточно получить лишь одно уравнение, связывающее и . Без заданного значения решение третьего пункта задачи требует комбинации первого и второго изложенных решений. Численное значение можно найти, приравняв два выражения для и численно решив полученное уравнение:
Примечание 2: из комбинации двух решений также получаются явные зависимости перемещения и пути от угла :
Помимо этого, мы можем определить зависимость перемещения вдоль оси , направленной вдоль основания наклонной плоскости, от угла :
Вновь переходя к переменной , получим:
Интегрируя, находим:
Возвращаясь к переменной :
Таким образом, траектория шайбы может быть получена аналитически в параметрической форме, поскольку и являются известными аналитическими функциями.
Траектория для заданных значений , , и представлена на рисунке ниже.
Указано, что модуль силы трения скольжения равен .
Указано, что проекция силы тяжести на плоскость равна .
Получено выражение для ускорения шайбы в зависимости от угла : .
Определено ускорение шайбы : .
Определено ускорение шайбы : .
Метод 1. Из решения следует, что проекции ускорения шайбы и равны друг другу или что ускорение направлено под углом со скоростью.
Метод 1. Показано, что величина сохраняется при движении шайбы.
Метод 1. Определена величина : .
Метод 1. Получена зависимость скорости шайбы от угла : .
Метод 2. Получены выражения для проекций ускорения: , .
Метод 2. Записаны выражения , .
Метод 2. Получено уравнение с разделяющимися переменными: .
Метод 2. Правильно проинтегрированы части уравнения: и .
Метод 2. Получена зависимость .
Определена скорость шайбы : .
Определена скорость шайбы : .
Метод 3. Получена связь пути , перемещения и времени : .
Метод 3. Получена связь .
Метод 3. Получена связь .
Метод 3. Получена связь .
Метод 3. Определено время: .
Метод 3. Определено численное значение времени: .
Метод 4. Время выражено через зависимость : .
Метод 4. Получено .
Метод 4. Используется основная тригонометрическая подстановка .
Метод 4. Выражение для приведено к виду .
Метод 4. .
Метод 4. .
Метод 4. Определено численное значение времени: .