Угловая высота камня
Кот Леопольд стоит на горизонтальной поверхности земли на некотором расстоянии от вертикального обрыва скалы. С края обрыва мыши бросают камень таким образом, что вектор начальной скорости камня , модуль которой равен , направлен перпендикулярно лучу зрения Леопольда.
Угол между горизонтом и лучом зрения Леопольда, направленным на камень, в момент броска был равен , а через некоторое время после броска камня достиг максимального значения, равного . Леопольд и траектория броска находятся в одной вертикальной плоскости, ускорение свободного падения .
- Чему равно время ?
- На каком расстоянии от скалы находился Леопольд?
Ответ
1. Поскольку вектор начальной скорости направлен перпендикулярно лучу зрения — он образует угол с вертикалью. Траектория камня представляет собой участок параболы ветвями вниз, поэтому максимальное значение реализуется, если Леопольд расположен вне искомой параболы, и в момент времени , когда угол между лучом зрения и горизонтом достигает максимального значения, луч зрения направлен по касательной к траектории камня. Это означает, что в данный момент скорость камня направлена прямо на Леопольда и образует угол с горизонтом.
Для определения времени построим векторный треугольник скоростей для данного момента времени.
Из теоремы синусов находим:
откуда:
2. Введём систему координат с началом в месте расположения глаз Леопольда так, как показано на рисунке.
Тогда зависимости координат , следующие:
Тогда для тангенса угла в момент времени получим:
откуда: