Угловая высота камня
Кот Леопольд стоит на горизонтальной поверхности земли на некотором расстоянии от вертикального обрыва скалы. С края обрыва мыши бросают камень таким образом, что вектор начальной скорости камня , модуль которой равен , направлен перпендикулярно лучу зрения Леопольда.
Угол между горизонтом и лучом зрения Леопольда, направленным на камень, в момент броска был равен , а через некоторое время после броска камня достиг максимального значения, равного . Леопольд и траектория броска находятся в одной вертикальной плоскости, ускорение свободного падения .
- Чему равно время ?
- На каком расстоянии от скалы находился Леопольд?
1. Поскольку вектор начальной скорости направлен перпендикулярно лучу зрения — он образует угол с вертикалью. Траектория камня представляет собой участок параболы ветвями вниз, поэтому максимальное значение реализуется, если Леопольд расположен вне искомой параболы, и в момент времени , когда угол между лучом зрения и горизонтом достигает максимального значения, луч зрения направлен по касательной к траектории камня. Это означает, что в данный момент скорость камня направлена прямо на Леопольда и образует угол с горизонтом.
Для определения времени построим векторный треугольник скоростей для данного момента времени.
Из теоремы синусов находим:
откуда:
2. Введём систему координат с началом в месте расположения глаз Леопольда так, как показано на рисунке.
Тогда зависимости координат , следующие:
Тогда для тангенса угла в момент времени получим:
откуда:
Показано, что максимальное значение угла реализуется, когда Леопольд расположен снаружи искомой параболы.
Обосновано, что в искомый момент времени луч зрения направлен по касательной к траектории камня.
Указано, что в момент времени скорость камня направлена прямо на Леопольда.
Метод 1. Правильно указаны углы в векторном треугольнике скоростей.
Метод 1. Правильно применена теорема синусов или косинусов в треугольнике скоростей.
Метод 2. Записано условие равенства проекций и на горизонтальную ось: .
Метод 2. Проекции скоростей на вертикальную ось связаны со временем : .
Получено правильное выражение для : .
Определено численное значение с.
Найдены зависимости и или аналогичные им.
Получено выражение для : .
Получено выражение для через : .
Определено численное значение м.