Автобус
Настя стоит в поле на расстоянии от прямой дороги, по которой от остановки с постоянным ускорением в её сторону начинает движение автобус (рис. 1).
Расстояние от остановки до девочки равно . Через какое минимальное время Настя сможет оказаться рядом с автобусом, если она умеет бегать со скоростью ? Временем разгона девочки можно пренебречь.
Решение.
Решение в СО дороги: Для того чтобы выполнялось условие минимальности времени, Настя:
а) должна двигаться прямолинейно, т.к. в противном случае, у нее появилась бы возможность за то же время оказаться на дороге ближе к остановке, чем при криволинейном движении;
б) не должна ждать автобуса на дороге, следовательно, девочка и автобус достигают точки встречи одновременно.
Рассмотрим прямоугольный треугольник с гипотенузой :
Запишем теорему косинусов:
Подставив косинус в уравнение получим:
Решение в СО автобуса: В системе отсчета автобуса точка из которой начала движение девочка за время смещается параллельно дороге на расстояние . За это время Настя может удалиться от этой точки на расстояние . Покажем эти перемещения на рисунке.
Геометрическое место точек, в которых может оказаться девочка, имеет вид окружности. Минимальное время соответствует касанию окружности автобуса.
Обозначим начальное расстояние вдоль дороги между автобусом и Настей за . Дважды запишем теорему Пифагора:
и
«Баллистическое» решение
Можно воспользоваться методом аналогий. Равноускоренное движение девочки в системе отсчета автобуса эквивалентно движению тела, брошенного со скоростью в поле однородной гравитации с ускорением свободного падения . См. рисунок.
Тогда задача сводится к поиску времен движения тела с заданными начальной скоростью и ускорением в точку, находящуюся на расстоянии по горизонтали и по вертикали. Минимальное время достигается при движении по «настильной» траектории. При таком подходе интуитивно понятным становится ОДЗ — не при любой начальной скорости тело сможет долететь до заданной точки.
Решая биквадратное уравнение относительно времени, получим:
Видно, что подкоренное выражение всегда положительное, т.к.
Выбираем меньший из двух корней из соображений минимальности времени. Чтобы решение существовало, выражение под внутренним корнем должно быть положительным:
иначе Настя не успеет даже добежать до дороги, по которой пронесется автобус, быстро набравший большую скорость.
Аргументирована прямолинейность движения девочки
Обосновано, что девочка не останавливается до встречи
Пояснительный рисунок (или подробное словесное описание величин, используемых при решении задачи). Примечание: если утверждается, что девочка должна двигаться перпендикулярно дороге, то за этот и последующие пункты ставится 0 баллов
Киниматические соотношения, описывающие относительное движение автобуса и девочки (в любых системах отсчёта)
Математическое обоснование дальнейших действий над исходными кинематическими соотношениями (т. косинусов, т. Пифагора и т.п.)
Получено биквадратное уравнение относительно времени
Решение уравнения
Аргументированно выбран меньший корень
Учтено ОДЗ, при котором решение есть