Автобус
Настя стоит в поле на расстоянии от прямой дороги, по которой от остановки с постоянным ускорением в её сторону начинает движение автобус (рис. 1).
Расстояние от остановки до девочки равно . Через какое минимальное время Настя сможет оказаться рядом с автобусом, если она умеет бегать со скоростью ? Временем разгона девочки можно пренебречь.
Ответ
Решение.
Решение в СО дороги: Для того чтобы выполнялось условие минимальности времени, Настя:
а) должна двигаться прямолинейно, т.к. в противном случае, у нее появилась бы возможность за то же время оказаться на дороге ближе к остановке, чем при криволинейном движении;
б) не должна ждать автобуса на дороге, следовательно, девочка и автобус достигают точки встречи одновременно.
Рассмотрим прямоугольный треугольник с гипотенузой :
Запишем теорему косинусов:
Подставив косинус в уравнение получим:
Решение в СО автобуса: В системе отсчета автобуса точка из которой начала движение девочка за время смещается параллельно дороге на расстояние . За это время Настя может удалиться от этой точки на расстояние . Покажем эти перемещения на рисунке.
Геометрическое место точек, в которых может оказаться девочка, имеет вид окружности. Минимальное время соответствует касанию окружности автобуса.
Обозначим начальное расстояние вдоль дороги между автобусом и Настей за . Дважды запишем теорему Пифагора:
и
«Баллистическое» решение
Можно воспользоваться методом аналогий. Равноускоренное движение девочки в системе отсчета автобуса эквивалентно движению тела, брошенного со скоростью в поле однородной гравитации с ускорением свободного падения . См. рисунок.
Тогда задача сводится к поиску времен движения тела с заданными начальной скоростью и ускорением в точку, находящуюся на расстоянии по горизонтали и по вертикали. Минимальное время достигается при движении по «настильной» траектории. При таком подходе интуитивно понятным становится ОДЗ — не при любой начальной скорости тело сможет долететь до заданной точки.
Решая биквадратное уравнение относительно времени, получим:
Видно, что подкоренное выражение всегда положительное, т.к.
Выбираем меньший из двух корней из соображений минимальности времени. Чтобы решение существовало, выражение под внутренним корнем должно быть положительным:
иначе Настя не успеет даже добежать до дороги, по которой пронесется автобус, быстро набравший большую скорость.