Физтех 2025, 11 класс, задача 5
На главной оптической оси тонкой собирающей линзы с фокусным расстоянием расположены центр прозрачного шара и точечный источник , удалённый от линзы на расстояние (см. рис.). На поверхность шара, противоположную поверхности входа лучей, нанесено идеально отражающее зеркальное покрытие. С шаром жестко скреплен непрозрачный экран с небольшим круглым отверстием. Если шар расположен так, что расстояние от центра линзы до ближайшей к нему точки шара равно , то изображение источника в системе «линза-шар» совпадает с самим источником при любом показателе преломления вещества шара.
1) Найти радиус шара.
После того, как центр шара переместили вдоль оптической оси так, что расстояние от шара до центра линзы увеличилось на , изображение источника снова совпало с самим источником.
2) Найти показатель преломления вещества шара.
Отражение света от наружной поверхности шара пренебрежимо мало. Экран обеспечивает малость углов лучей (падающих на шар) с оптической осью и справедливость приближения .
Ответ
1) Если изображение от в линзе попадает в центр шара (см. рис.), то лучи в шаре идут вдоль радиуса шара при любом показателе преломления, падают на зеркало и отражаются строго в обратном направлении. В результате изображение в системе попадает в .
Так как , , то .
2) После перемещения шара служит источником для левой сферической поверхности шара, изображение в которой . Если попадает на сферическое зеркало, то отраженные от зеркала лучи идут симметрично (относительно оптической оси) падающим. Это приводит к тому, что изображение в системе попадает в . По формуле преломления на сферической поверхности
Имеем , . Тогда .
Замечание. Вместо готовой формулы преломления на сферической поверхности можно для луча, идущего под малым углом к оптической оси, применить закон преломления.