Задание 7. 1 тур ВСоШ 2022 ( 10 класс)
«Рыцари и Лжецы».
На острове живут только два типа обитателей — Рыцари и Лжецы. Рыцаривсегда говорят правду, а Лжецы всегда — лгут. Островитяне утверждают следующее.
-A : «Только одно из двух верно: (1) мы с E — одинаковы по своей природе, (2) среди нас один Лжец и четыре Рыцаря».
-B : «Ровно трое из нас — Рыцари».
-C : «Если A — Лжец, то и E — Лжец».
-D : «Среди нас больше Лжецов, чем Рыцарей».
Используя следующую таблицу, определите, кто является Рыцарем, а кто — Лжецом, докажите, что существует только один вариант решения. Для это проанализируйте высказывания последовательно и укажите какие строки данное высказывание позволяет исключить (если строка была исключена на прошлом этапе, то ее не нужно указывать второй раз). Приведите подробное обоснование — почему именно эти строки исключаются данным высказыванием.
Таблицу следует читать следующим образом. Каждая строка соответствует определенному распределению ролей среди персонажей: «р» означает, что в этой строке персонаж является Рыцарем, а «л» означает, что в этой строке персонаж является Лжецом. Например, в строке 3 предполагается, что только D —Лжец.
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline N & A & B & C & D & E \\ \hline 1 & p & p & p & p & p \\ 2 & p & p & p & p & л \\ 3 & p & p & p & л & p \\ 4 & p & p & p & л & л \\ 5 & p & p & л & p & p \\ 6 & p & p & л & p & л \\ 7 & p & p & л & л & p \\ 8 & p & p & л & л & л \\ 9 & p & л & p & p & p \\ 10 & p & л & p & p & л \\ 11 & p & л & p & л & p \\ 12 & p & л & p & л & л \\ 13 & p & л & л & p & p \\ 14 & p & л & л & p & л \\ 15 & p & л & л & л & p \\ 16 & p & л & л & л & л \\ 17 & л & p & p & p & p \\ 18 & л & p & p & p & л \\ 19 & л & p & p & л & p \\ 20 & л & p & p & л & л \\ 21 & л & p & л & p & p \\ 22 & л & p & л & p & л \\ 23 & л & p & л & л & p \\ 24 & л & p & л & л & л \\ 25 & л & л & p & p & p \\ 26 & л & л & p & p & л \\ 27 & л & л & p & л & p \\ 28 & л & л & p & л & л \\ 29 & л & л & л & p & p \\ 30 & л & л & л & p & л \\ 31 & л & л & л & л & p \\ 32 & л & л & л & л & л \\ \hline \end{array}
1. В порядке возрастания укажите номера строк из таблицы, которые позволяет исключить высказывание A.
3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 16, 17, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32. Рассмотрим следующую таблицу, в которой мы оценим истинность высказывания A. Здесь, «+ » означает, что высказывание истинно, а «- », что высказывание – ложно.
То есть, мы должны исключить строки, в которых E – Рыцарь и встречается ровно один Лжец (3, 5, 9, 17 ), и строки, в которых E – Лжец, а всего Лжецов два и более (4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32 ).
2. В порядке возрастания укажите номера строк из таблицы, которые позволяет исключить высказывание B.
1, 2, 11, 13, 23, 25. Исключаем строки, в которых B – Рыцарь, но общее количество Рыцарей не равно трем (1, 2, 23 ). И строчки, в которых B – Лжец, а среди персонажей ровно три Рыцаря (11, 13, 25 ).
3. В порядке возрастания укажите номера строк из таблицы, которые позволяет исключить высказывание C.
7, 15, 19, 27. Оценим оставшиеся строки при помощи следующей таблицы:
4. В порядке возрастания укажите номера строк из таблицы, которые позволяет исключить высказывание D.
21, 31. Исключаем строки, в которых D – Рыцарь, а Лжецов меньше, чем Рыцарей (21). И строки, в которых D – Лжец, а всего Лжецов больше, чем Рыцарей (31).
5. Укажите, кто из персонажей Лжец, а кто — Рыцарь.
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline A & B & C & D & E \\ \hline \text{Лжец} & \text{Лжец} & \text{Лжец} & \text{Рыцарь} & \text{Рыцарь} \\ \hline \end{array}
Всего 10 баллов. Из них: 2 балла за правильный ответ ( 1 балл за четыре совпадения), 8 баллов за правильный анализ всех четырех высказываний (по 2 балла за анализ каждого высказывания, из них 1 балл за правильный список исключаемых строк, 1 балл за правильное обоснование).