Задание 8. 1 тур ВСоШ 2022 ( 11 класс)
«Рыцари и Лжецы».
На острове живут только два типа обитателей — Рыцари и Лжецы. Рыцари всегда говорят правду, а Лжецы всегда — лгут. Островитяне утверждают следующее.
-A : «Мы с E относимся к разным типам обитателей острова тогда и только тогда, когда верно, что среди нас всех не менее четырех Рыцарей»
-B : «Только одно из двух высказываний истинно: во-первых, среди нас не более пяти Рыцарей, а, во-вторых, E — Лжец».
-C : «Среди нас больше Рыцарей, чем Лжецов»
-D : «Среди нас не более двух Рыцарей»
Используя следующую таблицу, определите, кто является Рыцарем, а кто — Лжецом, докажите, что существует только один вариант решения. Для это проанализируйте высказывания последовательно и укажите какие строки данное высказывание позволяет исключить (если строка была исключена на прошлом этапе, то ее не нужно указывать второй раз). Приведите подробное обоснование — почему именно эти строки исключаются данным высказыванием.
Таблицу следует читать следующим образом. Каждая строка соответствует определенному распределению ролей среди персонажей: «р» означает, что в этой строке персонаж является Рыцарем, а «л» означает, что в этой строке персонаж является Лжецом. Например, в строке 3 предполагается, что только D — Лжец.
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline N & A & B & C & D & E \\ \hline 1 & р & р & р & р & р \\ 2 & р & р & р & р & л \\ 3 & р & р & р & л & р \\ 4 & р & р & р & л & л \\ 5 & р & р & л & р & р \\ 6 & р & р & л & р & л \\ 7 & р & р & л & л & р \\ 8 & р & р & л & л & л \\ 9 & р & л & р & р & р \\ 10 & р & л & р & р & л \\ 11 & р & л & р & л & р \\ 12 & р & л & р & л & л \\ 13 & р & л & л & р & р \\ 14 & р & л & л & р & л \\ 15 & р & л & л & л & р \\ 16 & р & л & л & л & л \\ 17 & л & р & р & р & р \\ 18 & л & р & р & р & л \\ 19 & л & р & р & л & р \\ 20 & л & р & р & л & л \\ 21 & л & р & л & р & р \\ 22 & л & р & л & р & л \\ 23 & л & р & л & л & р \\ 24 & л & р & л & л & л \\ 25 & л & л & р & р & р \\ 26 & л & л & р & р & л \\ 27 & л & л & р & л & р \\ 28 & л & л & р & л & л \\ 29 & л & л & л & р & р \\ 30 & л & л & л & р & л \\ 31 & л & л & л & л & р \\ 32 & л & л & л & л & л \\ \hline \end{array}
1) В порядке возрастания укажите номера строк из таблицы, которые позволяет исключить высказывание A
1, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 16, 17, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32. Рассмотрим следующую
таблицу, в которой мы оценим истинность высказывания A. Здесь, «+ » означает, что высказывание истинно, а «- », что высказывание – ложно.
Поэтому мы исключаем строки, в которых E – Рыцарь, а всего Рыцарей не менее четырех (1, 3, 5, 9, 17). И исключаем строки, в которых E – Лжец, а Рыцарей строго меньше четырех (4, 6, 8,10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32).
2) В порядке возрастания укажите номера строк из таблицы, которые позволяет исключить высказывание B
2, 11, 13, 15, 25, 27, 29, 31. Поскольку высказывание «среди нас не более пяти Рыцарей» является истинным, то утверждение B эквивалентно утверждению «Неверно, что E –Лжец». То есть, эквивалентно утверждению «E – Рыцарь». Данное утверждение позволяет исключить строки, в которых B и E – различные существа.
3) В порядке возрастания укажите номера строк из таблицы, которые позволяет исключить высказывание C.
7, 21. Исключаем строки, в которых C – Рыцарь, а всего Рыцарей меньше, чем Лжецов (таких строк нет). И строки, в которых C – Лжец и Рыцарей больше, чем Лжецов.
4) В порядке возрастания укажите номера строк из таблицы, которые позволяет исключить высказывание D.
23. В этой строке D – Лжец, но он сказал правду, поскольку Рыцарей в этой строке действительно не больше двух
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{A} & \text{B} & \text{C} & \text{D} & \text{E} \\ \hline \text{Лжец} & \text{Рыцарь} & \text{Рыцарь} & \text{Лжец} & \text{Рыцарь} \\ \hline \end{array}
Всего 10 баллов. Из них: 2 балла за правильный ответ ( 1 балл за четыре совпадения),
8 баллов за правильный анализ всех четырех высказываний (по 2 балла за анализ каждого высказывания, из них 1 балл за правильный список исключаемых строк, 1 балл за правильное обоснование).