Задача 3. ШЭ ВСоШ Татарстан 2025 (9-10 класс)
Антон продаёт красивые наклейки на ноутбуки, причём он является монополистом на данном рынке. Спрос на наклейки имеет вид Q_d=120-P, где Q_d – величина спроса на наклейки, P – цена на наклейки. Издержки Антона на наклейки имеют вид TC(Q)=Q^2.
Государство не считает наклейки высоко полезным товаром и планирует обложить Антона потоварным налогом с фиксированной ставкой t с каждой проданной единицы товара. Какой налог введёт государство, если оно хочет как можно меньше сократить равновесное количество наклеек, но ему необходимо собрать 500 денежных единиц налога?
Шаг 1. Выражение прибыли монополиста:
Прибыль монополиста (\pi) — это разница между его выручкой и издержками с учётом налога.
- Выручка. Цена товара зависит от объёма продаж Q и описывается функцией спроса P(Q)=120-Q. Выручка монополиста равна цене, умноженной на количество проданных товаров:
Выручка =P(Q)*Q=(120-Q)*Q.
- Издержки. Издержки на производство зависят от объёма производства и равны Q^2.
- Налог. Налог t — это фиксированная ставка на каждый проданный товар, и налоговые издержки составляют tQ.
Таким образом, общая прибыль монополиста с учётом всех этих факторов:
\pi= Выручка - Издержки - Налог =(120-Q)*Q-Q^2-tQ.
Преобразуем выражение: \pi=(120-t)*Q-Q^2.
Шаг 2. Максимизация прибыли:
Для нахождения объёма Q(t), который максимизирует прибыль, нужно найти производную функции прибыли по Q и приравнять её к нулю:
\frac{d\pi}{dQ} = (120 - t) - 2Q = 0.
Решаем уравнение: 2Q = 120 - t \quad \Rightarrow \quad Q^{*} = \frac{120 - t}{2}.
Это оптимальный объём производства Q как функция от налога t. Или можно заметить, что данное выражение – парабола ветвями вниз, максимум которой достигается в вершине.
Шаг 3. Налоговые сборы:
Налоговые сборы (Tx) — это общий налог, который заплатит монополист. Поскольку налог составляет t на каждую единицу товара, а товаров продано Q, общая сумма налога: Tx=tQ.
Подставляем значение Q^*, найденное из условия максимизации прибыли Q^*=\frac{120-t}{4} :
Tx = t \cdot \frac{120 - t}{4}.
Согласно условию, налоговые сборы равны 500 :
\frac{(120 - t)t}{4} = 500.
Шаг 4. Решение уравнения:
Решая это уравнение, находим два значения t : t_1=20 и t_2=100. Выбираем меньшее значение налога t_1=20, так как оно приводит к большему количеству проданных товаров.
( 10 баллов)