Тяжкий бизнес, построенный на сливах
Ника выращивает клубнику (x) и сливы (y). У нее есть доступ к двум фермам: КПВ первой фермы задается уравнением y+2x=100, а второй — уравнением y+0,5x=80. Первая ферма досталась ей по наследству от дедушки, а второй она пользуется с разрешения государства. Жители страны потребляют эти товары только в виде смузи: для приготовления одной порции нужны 2 ягоды клубники и 1 слива.
а) ( 3 балла) Ника может производить товары только на принадлежащей ей ферме. Какое максимальное количество порций смузи она сможет произвести?
Смузи состоит из 2 ед. X и 1 ед. Y. Если у Ники остаются неиспользованные ингредиенты, ей выгодно сократить производство лишней части и нарастить производство дефицитной => получить больше смузи, поэтому x=2K, \ y=K, где K — количество комплектов. Кривая потребления комплектов имеет вид x=2y. Для нахождения оптимальной точки необходимо пересечь ее с КПВ: y+2x=100.
y+2*2y=100
5y=100
y=20=K
Таким образом, Ника сможет произвести не более 20 смузи.
б) ( 5 баллов) Государство решило увеличить производство смузи и разрешило Нике бесплатно использовать вторую ферму. Какое максимальное количество порций смузи она сможет произвести?
Сложим КПВ: y_1=100-2x_1 и y_2=80-0,5x_2. Альтернативные издержки производства X на второй ферме ниже, чем на первой (OC_1=2, \ OC_2=0,5). Сначала выгодно производить X на второй ферме (максимальное количество X на второй ферме — 80/0,5=160 ), потом, когда на второй ферме производится только X, первая также переходит на его производство.
На первом участке суммарной КПВ, при 0\leq x\leq 160, на первой ферме производится только слива, а вся клубника производится на второй ферме, т.е. x_1=0, \ x_2=x. Получаем: y(x) = y_1(x_1) + y_2(x_2) = 100 + 80 - 0{,}5x = 180 - 0{,}5x.
На втором участке суммарной КПВ, при 160 < x \le 210 (максимальное количество клубники в сумме на двух фермах — \frac{100}{2} + \frac{80}{0{,}5} = 50 + 160 = 210 ), на второй ферме производится только клубника (x_2=160 ), оставшаяся клубника (x_1=x-160 ) производится на первой ферме.
Получаем: y(x) = y_1(x_1) + y_2(x_2) = 100 - 2(x - 160) + 0 = 420 - 2x.
Таким образом, уравнение суммарной КПВ:
y(x)= \begin{cases} 180-0{,}5x, & 0 \le x \le 160, \\ 420-2x, & 160 < x \le 210. \end{cases}
Аналогично пункту а), пересечем КПВ с прямой комплектов x=2y. Несложно проверить, что прямая комплектов пересекает КПВ на втором участке:
420 - 2x = \frac{1}{2}x
2{,}5x = 420
x = 168
K = \frac{x}{2} = \frac{168}{2} = 84
Ника сможет произвести не более 84 смузи.
в) ( 7 баллов) После урока экономики в школе Ника решила изучить рынки клубники и слив. Оба рынка являются совершенно конкурентными. Рыночная цена клубники составляет 10 у.е. за единицу, а рыночная цена слив — 30 у.е. за единицу. Одну порцию смузи можно продать за 50 у.е. Издержки производства равны нулю. В стране можно приобрести лицензию на оптовую торговлю, которая дает право продавать клубнику и сливы по отдельности. Без лицензии Ника может продавать только готовые порции смузи. Какую максимальную сумму она готова заплатить за лицензию?
При продаже 84 смузи прибыль Ники равна \pi=84*50=4200.
Если продавать клубнику и сливы отдельно, то за 2 клубники и 1 сливу Ника получит 2*10+1*30=50 у.е., поэтому при наличии лицензии ей нет смысла продавать смузи: выгоднее реализовывать продукцию по отдельности.
На первой ферме 1 клубнику можно заменить на 2 сливы. Одна клубника стоит 10 у.е., а 2 сливы — 60 у.е., поэтому на первой ферме выгодно производить только сливы.
На второй ферме 1 сливу можно заменить на 2 клубники. Одна слива стоит 30 у.е., а 2 клубники — 20 у.е., поэтому на второй ферме также выгодно производить только сливы.
Следовательно, Ника будет производить только сливы, всего 180 штук. Тогда ее прибыль при продаже по отдельности равна \pi=180*30-c=5400-c, где c — цена лицензии.
Ника готова платить за лицензию, если прибыль от продажи по отдельности не меньше прибыли от продажи смузи:
5400-c\geq 4200.
c\leq 1200,
c_{max}=1200.
Таким образом, Ника готова заплатить за лицензию не более 1200 у.е.
г) ( 5 баллов) Государство отозвало все лицензии и запретило продавать клубнику и сливы по отдельности. Аренда второй фермы стала платной. Какую максимальную сумму Ника готова заплатить за аренду второй фермы?
Если Ника использует обе фермы, она может продать 84 смузи, и ее прибыль равна
\pi=84*50-b=4200-b, где b — цена аренды второй фермы.
Если Ника использует только первую ферму, она может продать 20 смузи, и ее прибыль составит \pi=20*50=1000.
Ника готова платить за аренду второй фермы, если прибыль при использовании двух ферм не меньше прибыли при использовании только первой фермы:
4200-b\geq 1000.
b\leq 3200,
b_{max}=3200.
Таким образом, Ника готова заплатить за аренду второй фермы не более 3200 у.е.