S060
Придворные одной Королевы всегда высаживали в саду не те кусты роз, которые надо было. Однажды они высадили 90 кустов белой розы, в то время как функция полезности Королевы имеет вид: U=XYZ, где X – число кустов белых роз, Y – число черных, Z – число красных. Поэтому, естественно, часть кустов пришлось перекрашивать. Перекрашивание одного куста в черный цвет стоит 2 ф.ст., в красный – 5 ф.ст. На перекрашивание белых кустов розы казначей выделил 90 ф.ст.
Сколько кустов придворные перекрасят в черный цвет и сколько – в красный, максимизируя функцию полезности Королевы?
Общее число кустов: X+Y+Z=90. \quad X=90-Y-Z.
Бюджетное уравнение: 90 = 2Y + 5Z. \quad Z = 18 - 0,4Y. \quad X = 90 - Y - (18 - 0,4Y) = 72 - 0,6Y. \\ U = XYZ = (72 - 0,6Y)Y(18 - 0,4Y) = 0,24Y^3 - 39,6Y^2 + 1296Y. \\ U' = 0,72Y^2 - 79,2Y + 1296 = 0. \quad Y^2 - 110Y + 1800 = 0. \quad Y = 20, \quad Z = 18 - 0,4Y = 10.
Ответ. 20 кустов перекрасят в черный цвет, 10 кустов перекрасят в красный.