Вкусняшки в лесном царстве
На рынке вкусняшек в лесном царстве действуют две группы покупателей: звери и птицы. Спрос зверей описывается функцией P=10–0,05 \cdot Q, а спрос птиц – функцией P=60–0,1 \cdot Q, где P – цена тонны вкусняшек в тугриках, а Q – количество вкусняшек, которое хотят приобрести покупатели, в тоннах. О предложении вкусняшек известно только то, что оно описывается линейной функцией и при цене 4 тугрика за тонну ценовая эластичность предложения вкусняшек равна 1. Кроме того, известно, что в случае фиксирования цены на уровне 4 тугрика за тонну общие расходы покупателей на покупку вкусняшек составят 320 тугриков.
Большинство жителей лесного царства очень недовольны высокой рыночной ценой вкусняшек, и они делегировали Волка и Орла просить лесного царя Медведя посодействовать тому, чтобы сделать вкусняшки более доступными. Медведь не против и даже приказал выделить из царской казны X тугриков для решения вопроса. Проблема только в том, как распорядиться этой суммой. Волк предлагает выплачивать производителям вкусняшек субсидию – t тугриков за каждую проданную тонну. А Орел советует все выделенные деньги использовать на модернизацию производства, тогда по его оценкам непременно произойдет рост предложения вкусняшек аж на 250% при каждом уровне цен! Приглашенные эксперты – 33 попугая – провели исследование и вынесли вердикт - оба варианта, при прочих равных условиях, обеспечат одинаковое снижение рыночной цены вкусняшек. Однако они единогласно высказались в поддержку только одного варианта, исходя из предположения, что в будущем произойдет рост спроса на вкусняшки. В обоснование своей позиции они привели два весомых аргумента.
Определите:
а) какую сумму X предполагается выделить из царской бюджета для поддержки производителей вкусняшек;
б) как и на сколько процентов изменится цена тонны вкусняшек, если из казны будет выделена оговоренная сумма;
в) за какой вариант расходования средств казны высказались 33 попугая, и каковы могли быть их аргументы.
1) Определим, какой была начальная цена вкусняшек.
Для этого сначала определим суммарную функцию спроса зверей и птиц на вкусняшки, преобразовав исходные функции спроса в функции вида Q=f(P). Функция спроса зверей будет иметь вид Q=200−20P, а функция спроса птиц Q=600−10P.
Суммарный спрос будет описываться кусочно-линейной функцией:
\begin{cases} 600 - 10P, & \text{при } 10 \leq P \leq 60; \\ 800 - 30P, & \text{при } 0 \leq P \leq 10. \end{cases}
Определим исходную функцию предложения вкусняшек. Так как она линейная и имеет эластичность равную 1, то она выходит из начала координат. Если бы цена была зафиксирована на уровне 4 тугрика за тонну, то покупатели смогли бы купить (320/4=80) тонн вкусняшек (в соответствии с условиями задачи), но они готовы купить 800−30 \cdot 4=680 тонн ( в соответствии с функцией спроса). При цене 4 тугрика на рынке был бы дефицит товара, а объем продаж определялся возможностями продавца предложить товар на продажу, т.е. функцией предложения. Отсюда следует, что график предложения проходит через точку с координатами (80; 4). Соответственно функция предложения имеет вид Q=20P.
При цене 10 тугриков продавцы готовы продать 100 тонн вкусняшек, а покупатели готовы купить 500 тонн вкусняшек, на рынке возникнет дефицит товара, значит первоначальная равновесная цена должна быть больше 10 тугриков. Приравняв соответствующую функцию спроса и предложения, находим, что цена равна 20 тугриков.
2) Рассчитаем, какой станет новая цена вкусняшек.
Так как оба варианта реализации рекомендаций Волка и Орла приводят к одинаковому результату, то достаточно показать, как изменится функция предложение в результате реализации рекомендаций Орла – предложение должно вырасти в 3,5 раза при любых ценах. Получаем, что этот вариант изменения предложения даст новую функцию предложения Q=70P. Чтобы получить новую равновесную цену мы снова должны приравнять функцию спроса и предложения, но теперь при цене 10 продавцы готовы продать 700 тонн вкусняшек, на рынке возникает излишек и равновесная цена будет меньше 10 тугриков. Приравняв соответствующую функцию спроса и предложения, находим, что цена будет равна 8 тугриков. Итак, цена снизится с 20 до 8 тугриков, т.е. снизится на 60%.
3) Определим ставку потоварной субсидии.
При цене 8 тугриков продавцы готовы продавать 560 тонн вкусняшек. Без субсидии и без модернизации производства данное количество товара они были готовы предложить по цене (560/20)=28 тугриков за тонну. 8 тугриков они получат от покупателей, а 20 тугриков им должна компенсировать царская казна. Таким образом, мы определили размер потоварной субсидии t=20 тугриков.
4) Оценим общую сумму субсидии.
Новому равновесию соответствует 560 тонн вкусняшек, за каждую проданную тонну из казны выделяют 20 тугриков, значит общая сумма субсидии 560 \cdot 20=11200 тугриков.
5) Возможные аргументы экспертов
- Субсидия только компенсирует издержки продавцов, ее придется выплачивать каждый год, в то время как модернизация производства непосредственно снижает издержки и поэтому достаточно разовой выплаты из царской казны.
- Если будет расти спрос, то вариант с субсидией в будущем приведет к большему росту цены, нежели вариант с модернизацией.
Ответ:
а) Для поддержки производителей вкусняшек предполагается выделить 11 200 тугриков.
б) Цена тонны вкусняшек снизится на 12 тугриков, или на 60% (с 20 до 8 тугриков за тонну).
в) Попугаи высказались за вариант модернизации производства.