Задание 15. РЭ – 2025 (9-11 класс)
Государство планировало ввести потоварный налог в размере 360 на рынке шоколадных конфет для снижения уровня потребления сладкого. Однако было решено поделить ставку потоварного налога между рынком шоколадных и рынком сливочных конфет и установить ставки потоварных налогов на уровне 360a и 360(1-a) соответственно. Известно, что спрос на рынке шоколадных конфет имеет вид Q_1^D=600-P, а предложение имеет вид Q_1^S=P-24, а на рынке сливочных конфет Q_2^D=144-P и Q_2^S=P соответственно. Найдите значение a, максимизирующее суммарные налоговые сборы.
Рынок 1 (шоколадные конфеты): пусть налог t_1=360a. Тогда производители получают P-t_1. Предложение с учетом налога: Q_1^S=P-24-t_1. В равновесии Q_1^D=Q_1^S : 600-P=P-24-t_1=> P=0,5(624+t_1), \ Q_1=0,5(576-t_1).
Рынок 2 (сливочные конфеты): пусть налог t_2=360(1-a). Тогда производители получают P-t_2. Предложение с налогом: Q_2^S=P-t_2. В равновесии Q_2^D=Q_2^S : 144-P=P-t_2=>P=0,5(144+t_2), \ Q_2=0,5(144-t_2).
Для рынка 1 : Q_1=288-180a. Налоговые сборы с рынка 1 :
T_1=t_1Q_1=360a(288-180a).
Для рынка 2 : Q_2=-108+180a. Налоговые сборы с рынка 2 :
T_2=t_2Q_2=360(1-a)(-108+180a).
Суммарный налог:
T=T_1+T_2=360a(288-180a)+360(1-a)(-108+180a)=12960(-10a^2+16a-3).
Это парабола ветвями вниз, ее максимум лежит в вершине. Отсюда и получим значение a, максимизирующее общие налоговые сборы: a^*=0,8.
Также задачу можно было решить максимизацией по отдельности. Нетрудно вычислить, что оптимальная ставка на рынке 1 (без учета рынка 2 ) равна t_1=288, а на рынке 2 (без учета рынка 1 ) t_2=72. Но в сумме эти ставки как раз дают 360, так что они являются оптимальными и при ограничении t_1+t_2=360. Значит, a^*=288/360=0,8.