Мороженое на пляже

Эта задача рассказывает одну из моделей олигополии с неоднородным товаром. Вам предлагается узнать, как фирмы выбирают степень дифференциации товара и назначают цены. Все пункты, кроме предпоследнего, можно решить без знания производной.

Задача довольно сложная. В скобках около каждого пункта указана моя оценка сложности по 5-балльной шкале, где 3 — уровень Всероса

На пляже длиной 1 км (отрезок [0;1]) расположены две палатки с мороженым: в точках с координатами 0\leq a<b\leq1. Отдыхающие равномерно занимают весь пляж: их число на любом интервале равно длине этого интервала (если Вас смущает дробное число покупателей, можете считать, что оно измеряется в сотнях или тысячах). День выдался жарким: каждый готов купить ровно 1 мороженое, каким бы дорогим оно не было. По той же причине песок горячий, поэтому люди не любят далеко ходить за мороженым: издержки от ходьбы по горячему песку каждый оценивает в $1 на километр. Несмотря на жару, люди рациональны: каждый отдыхающий покупает мороженое в той палатке, для которой общие издержки (цена плюс ходьба) ниже. Для простоты будем считать, что издержки производства мороженого равны нулю.

1) [3-] Найдите равновесные цены, объемы продаж и прибыли фирм.

2) [3] Лето закончилось, палатки пришлось убрать, и теперь фирмы одновременно решают, где им поставить палатки на следующий сезон. Каждая фирма может выбрать любую точку на отрезке [0;1]. После того, как выбор сделан, фирмы снова одновременно выбирают цены (точно так же, как в предыдущем пункте). Найдите равновесие: a, b, цены и количества.

Подсказка: используя результаты предыдущего пункта, Вы получите ответы достаточно быстро.

3) [2] Государство посчитало цены завышенными, поэтому в третьем сезоне оно зафиксировало цену на уровне p>0. Однако расположение палаток фирмы по-прежнему могут выбирать. Изменится ли их выбор?

4) [3] Как Вы думаете, какое расположение палаток (из предыдущих или какое-то другое) было бы оптимальным для общества? Почему?

5) [4] Июль выдался особенно жарким, и песок был настолько горячим, что издержки ходьбы по нему изменились: издержки от ходьбы на расстояние d каждый оценивает в td², где t>0 — параметр. Как изменятся ответы предыдущих пунктов? Объясните интуитивно. В том числе проинтерпретируйте зависимость равновесных цен и прибылей от параметра t. Что произойдет, если он упадет до нуля?

Подсказка: при заданных a и b равновесные цены равны t(b−a) умножить на равновесные цены в первом пункте задачи.

6) [5+] Август оказался, наоборот, дождливым: хотя люди по-прежнему любят мороженое, они уже не готовы купить его при слишком высокой цене. Каждый оценивает мороженое в v денежных единиц и готов его купить, только если p+s\leq v , где s — расстояние до палатки. Госрегулирование было отменено: как и в пункте (2), фирмы сначала одновременно выбирают расположение, а затем одновременно выбирают цены. Найдите равновесное расположение фирм и цены.

Подсказка: когда Вы будете искать равновесные цены в зависимости от a и b, возникнет много случаев. Но если помнить о том, что позже фирмы будут выбирать a и b, большинство из них можно отбросить.