Гаджеты и виджеты -2 или кривая торговых возможностей
В некоторой стране правительство настолько увлеклось модернизацией экономики, что в ней осталось производство только двух товаров – гаджетов (g ) и виджетов (w ). Соответствующая КПВ описывается уравнением
g=100-w^2
(количества гаджетов и виджетов могут выражаться не только целыми числами). После вступления в ВГТО (Виджето-Гаджетовую Торговую Организацию) страна открылась мировому рынку, на котором 1 виджет оценивается в 4 гаджета; при этом на мировом рынке можно обменять как любое количество виджетов на гаджеты, так и любое количество гаджетов на виджеты.
- Найдите множество комбинаций (w;g), которые теперь могут быть потреблены в стране. Изобразите это множество на плоскости и найдите уравнение его границы (эта граница иногда называется кривой торговых возможностей).
- С наступлением эпохи войн и политической нестабильности ВГТО вводит против страны санкцию, согласно которой импорт виджетов в страну не может превышать 9 единиц. Как изменится в результате этой меры кривая торговых возможностей страны?
Страна выбирает:
- Какую точку ей выбрать на (или под) своей КПВ (сколько товаров произвести);
- Сколько и какого произведенного товара обменять на другой товар на мировом рынке.
Если в результате этих двух действий у страны остается «на руках» ровно g гаджетов и ровно w виджетов, то набор (w;g) доступен для потребления.
Таким образом, нам нужно изобразить на плоскости множество всех наборов, которые можно получить в результате каких-то двух таких операций.
Допустим, страна произвела 8 виджетов и 36 гаджетов (см. рис.). Как нетрудно понять, графически обмен на мировом рынке представляется как движение по красной прямой (ее наклон равен (-4), что как раз соответствует пропорции обмена). При этом движение влево – это обмен виджетов на гаджеты, а движение вправо – обмен гаджетов на виджеты. Значит, если страна решит производить в точке (8;36), то в результате ей будут доступны для потребления все точки на (или под – если она решит «есть» не всё) красной прямой.
Аналогично, если страна решит производить в точке (6;64), то ей будут доступны для потребления все наборы на или под синей прямой.
Теперь, когда принцип ясен, легко увидеть, что множество наборов под прямой «максимально», если прямая касается КПВ. Таким образом, истинной границей множества доступных для потребления наборов является отрезок фиолетовой прямой.
Найдем координаты соответствующей точки касания и уравнение этой прямой.
В точке касания наклон КПВ (альтернативные издержки производства) равен наклону прямой (мировой цене): -2x=-4, откуда x=2, а значит, y=96.
Прямая имеет наклон (-4), а значит, описывается уравнением y=a-4x. Зная то, что прямая должна проходить через точку (2;96), окончательно восстанавливаем ее уравнение:
y=104-4x
Итоговое множество доступных для потребления наборов изображено на рисунке:
2) Условия экспорта виджетов не изменились (поэтому при движении по прямым влево ничего не изменится по сравнению с предыдущим пунктом), зато изменились условия импорта. Графически санкция выражается в том, что теперь мы можем «идти» по прямым вправо не сколько угодно: максимум мы можем сделать 9 шагов (если за один шаг принять покупку одного виджета). При этом максимум мы продадим 9 \cdot 4 = 36
гаджетов.
Таким образом, максимальное смещение точки вправо, достигаемое за счет торговли, является смещением на вектор (9;-36). Поэтому новая КТВ является на определенном участке не чем иным, как участком родной КПВ, смещенным параллельно ровно на этот вектор.
На каком участке этот будет происходить?
Из рисунка ясно, что минимальное w, при котором мы «почувствуем» санкцию – это w=2+9=11 (меньшие объемы потребления виджетов можно получить и при объеме их импорта, меньшем 9).
Соответственно, до w=11 новая КТВ совпадет со старой (будет отрезком прямой), а при w>11 она будет представлять из себя смещенный участок КПВ. Это смещение показано на рисунке (каждая красная точка КПВ «переезжает», следуя своей красной пунктирной прямой, в красную точку КТВ):
Алгебраически смещение графика функции на 36 единиц вниз и на 9 единиц вправо, как известно, можно получить, если вычесть из значения функции 36 при каждом w, и подставить в качестве аргумента не w, а w-9. В итоге получаем, что новая КТВ описывается уравнением
g = \begin{cases} 104 - 4w, \ \text{если} \ w \leq 11; \\ 100 - (w - 9)^2 - 36 = 64 - (w - 9)^2, \ \text{если} \ w > 11. \end{cases}
При этом максимальное доступное для потребления количество виджетов снизится с 26 до 17.
Новое множество доступных комбинаций (w;g) будет иметь следующий вид
Ответ:
см. выше
Примечание:
В данной задаче найти координаты точки касания можно и без использования производной. Придумайте, как это можно сделать.