а) Каждый избиратель выбирает свою ставку t_i и максимизирует величину

u_i(t_i) = \theta v(G) + (1 - \theta) v\left( y(1 - t_i) \right) = \theta \ln\left( t_1 y + \dots + t_n y \right) + (1 - \theta) \ln\left( y(1 - t_i) \right) \to \max_{0 \leq t_i \leq 1}

Условие первого порядка выглядит следующим образом:

u'_i(t_i) = \theta \frac{1}{t_1 y + \dots + t_n y} y + (1 - \theta) \frac{1}{y(1 - t_i)}(-y) = \frac{\theta}{t_1 + \dots + t_n} - \frac{1 - \theta}{1 - t_i} = 0

Из этого выражения видно, что первая производная убывает по t_i, т.е. условие второго порядка будет выполнено. Поскольку агенты гомогенны, равновесие будет симметричным:

t_1=...=t_n=t_i^*

Подставив это в условие оптимума каждого избирателя, получим

\frac{\theta}{nt_i} - \frac{1-\theta}{1-t_i} = 0 \quad \Rightarrow \quad \theta(1-t_i) = (1-\theta)nt_i \theta - \theta t_i = nt_i - \theta nt_i \quad \Rightarrow \quad t_i^* = \frac{\theta}{\theta + n(1-\theta)}

Можно заметить, что, во-первых, ставка возрастает по \theta : чем сильнее избиратели ценят общественное благо, тем больше их готовность его финансировать; во-вторых, равновесная ставка убывает по n : чем больше агентов, тем сильнее каждый агент будет надеяться на суммарный "вклад" всех остальных, а сам предпочтёт меньше вкладываться в общественные блага (быть "зайцем").

б) Беневолентный правитель выбирает общую для всех ставку t и максимизирует величину

u(t) = n u_i(t) = n \left( \theta \ln(nt y) + (1-\theta) \ln(y(1-t)) \right) \rightarrow \max_{0 \leq t \leq 1}

Множитель n при оптимизации можно проигнорировать.

Условие первого порядка примет вид u'(t) = \theta \frac{1}{nty}ny + (1-\theta)\frac{1}{y(1-t)}(-y) = \frac{\theta}{t} - \frac{1-\theta}{1-t} = 0

Из этого выражения видно, что первая производная убывает по t, т.е. условие второго порядка будет выполнено. Нетрудно убедиться, что в оптимуме t^*=\theta.

Легко видеть, что для любого n>1

t^* = \theta > t_i^* = \frac{\theta}{\theta + n(1 - \theta)}

Стало быть, равновесие, при котором общественные блага финансируются децентрализованно, уступает в эффективности равновесию, при котором решение принимает центральный планировщик, именно по той причине, что в первом случае происходит недофинансирование общественных благ. Перед нами сюжет, иллюстрирующий проблему безбилетника.

в) Если разворовывается величина cnycny, а налоговые сборы в сумме по-прежнему составляют tny, то размер общественных благ будет равен G=tny-cny=ny(t-c). С учетом этого целевая функция правителя обновится:

u(t) = nu_i(t) = n \left( \theta \ln \left( ny(t - c) \right) + (1 - \theta) \ln \left( y(1 - t) \right) \right) \to \max_{0 \leq t \leq 1}

Множитель n при оптимизации можно проигнорировать. Условие первого порядка:

u'(t) = \theta \frac{1}{ny(t - c)} ny + (1 - \theta) \frac{1}{y(1 - t)} (-y) = \frac{\theta}{t - c} - \frac{1 - \theta}{1 - t} = 0

Из этого выражения видно, что первая производная убывает по t, т.е. условие второго порядка будет выполнено. В оптимуме имеем

\theta (1 - t) = (1 - \theta)(t - c) \quad \theta - \theta t = t - c - \theta t + \theta c \quad t^{**} = \theta + c(1 - \theta)

Очевидно, что t^{**}=\theta+c(1-\theta)>t^*=\theta : коррупция увеличивает налоговое бремя.

г) При наличии коррупции объём общественных благ составит

G(t^{**}) = ny(t^{**} - c) = ny(\theta + c(1 - \theta) - c) = ny(\theta - \theta c) = ny\theta(1 - c)

А располагаемый доход одного агента составит

y(1 - t^{**}) = y(1 - \theta - c(1 - \theta)) = y(1 - \theta)(1 - c)

Без централизованного налогообложения общественные блага будут произведены в объёме

G(t^{*}_{i}) = nt^{*}_{i}y = n \frac{\theta}{\theta + n(1 - \theta)} y

А располагаемый доход одного агента составит

y(1 - t_i^*) = y \left( 1 - \frac{\theta}{\theta + n(1 - \theta)} \right) = y \frac{n(1 - \theta)}{\theta + n(1 - \theta)}

Чтобы сохранить власть, следует выбирать объемы коррупции так, чтобы выполнялось условие

\theta \ln \left( ny\theta(1-c) \right) + (1-\theta)\ln\left( y(1-\theta)(1-c)\right) \geq \theta \ln \frac{ny\theta}{\theta+n(1-\theta)} + (1-\theta) \ln \frac{ny(1-\theta)}{\theta+n(1-\theta)} \\

\ln \left( (ny\theta(1-c))^\theta \right) + \ln \left( y(1-\theta)(1-c)^{1-\theta} \right) \geq\ln \left( \frac{ny\theta}{\theta + n(1 - \theta)} \right)^\theta + \ln \left( \frac{ny(1 - \theta)}{\theta + n(1 - \theta)} \right)^{1 - \theta}

\ln \left( (ny\theta(1-c))^\theta (y(1-\theta)(1-c))^{1-\theta} \right) \geq \ln \left( \left(\frac{ny\theta}{\theta+n(1-\theta)}\right)^\theta \left(\frac{ny(1-\theta)}{\theta+n(1-\theta)}\right)^{1-\theta} \right) \\

\left( ny\theta(1-c) \right)^\theta \left( y(1-\theta)(1-c) \right)^{1-\theta} \geq \left( \frac{ny\theta}{\theta+n(1-\theta)} \right)^\theta \left( \frac{ny(1-\theta)}{\theta+n(1-\theta)} \right)^{1-\theta} \\

n^\theta y^\theta \theta^\theta (1-c)^\theta y^{1-\theta} (1-\theta)^{1-\theta} (1-c)^{1-\theta} \geq \frac{n^\theta y^\theta \theta^\theta (1-\theta)^{1-\theta} y^{1-\theta} n^{1-\theta} y^{1-\theta}}{\left( \theta+n(1-\theta) \right)^\theta \left( \theta+n(1-\theta) \right)^{1-\theta}}

1 - c \geq \frac{n^{1-\theta}}{\theta + n(1-\theta)}

Таким образом, граничное значение размера коррупции составляет:

\tilde{c} = 1 - \frac{n^{1-\theta}}{\theta + n(1-\theta)}