Задача 2 ОЧ-2014 (8 класс)
Восьмиклассник Серёжа очень любит шоколадные конфеты фирмы «Сладкоежка». При этом он очень привередлив: он ест только молочный шоколад, а белый терпеть не может. К сожалению, фирма «Сладкоежка» продаёт свой товар только коробками с конфетами двух видов. Коробка шоколадных конфет «Восхищение» содержит конфет из молочного шоколада и из белого, а коробка под названием «Мечта» – конфет из молочного шоколада и из белого. Стоят коробки и рублей соответственно.
Каждый месяц родители дают Серёже рублей на карманные расходы и, конечно же, он тратит все свои деньги на свое любимое лакомство.
- Какое максимальное количество конфет из молочного шоколада может приобрести Серёжа за месяц?
- Допустим, одноклассник Серёжи Ваня очень любит белый шоколад и готов покупать его у Серёжи в неограниченных количествах по цене рубля за одну конфету после того, как Сережа съест все конфеты из молочного шоколада. Как в этом случае изменится месячный рацион Серёжи? Сколько коробок «Мечта» и «Восхищение» он купит?
Ответ
1. Задачу можно решить перебором (придётся рассмотреть пять случаев). Мы же приведём рассуждения, позволяющие сократить перебор до двух вариантов. Рассмотрим стоимость покупки -х коробок конфет «Восхищение». Их стоимость равна рублей. Купив их, Серёжа получит конфеты.
Рассмотрим стоимость покупки -х коробок конфет «Мечта». Их стоимость равна рублей. Они содержат также конфеты.
Из этого можно сделать вывод, что Серёжа не будет покупать больше 2-х коробок конфет «Мечта» в месяц (вместо двух этих коробок выгоднее взять три коробки «Восхищение»). Остаётся перебрать два случая.
Перебор:
- Серёжа покупает одну коробку «Мечта», в которой содержится конфет из молочного шоколада. Также у него остается рублей на покупку коробок «Восхищение», в каждой из которых по конфет из молочного шоколада:
2). Серёжа покупает только «Восхищение»:
Таким образом, Серёжа может купить не более конфет из молочного шоколада.
Ответ: конфет.
2. Сразу же после покупки любой коробки конфет Серёже выгодно тут же продать весь белый шоколад Ване. На вырученные от продажи белого шоколада деньги можно докупить ещё несколько коробок конфет.
Таким образом, можно считать, что стоимость одной коробки «Восхищение» стала рублей, а стоимость коробки «Мечта» стала равна рублей.
Аналогично можно рассмотреть стоимость -х коробок «Восхищение» и -х коробок «Мечта», но теперь окажется, что коробку «Мечта» покупать выгоднее. Казалось бы, можно, аналогично случаю , сделать простой перебор, но уже трёх случаев (можно купить или коробки «Восхищение»). Однако в данной задаче это неверно.
Рассмотрим покупку последней коробки конфет. Если это «Восхищение», то Серёжа продаёт конфет Ване, и у него в кармане остаётся рублей, которые он никак не сможет потратить. Если это «Мечта», то Серёжа продаёт конфет Ване, и у него в кармане остаётся рублей, которые он никак не сможет потратить. Таким образом, у нас меняется бюджетное ограничение Серёжи. Если он не покупает ни одной коробки «Восхищение», то в его распоряжении остаётся рублей. Если он покупает хотя бы одно «Восхищение», то на покупку конфет он может тратить рублей.
Поэтому нам теперь нужно рассматривать случай, когда Серёжа покупает коробки «Восхищение», так как в случаях и мы имеем разные бюджетные ограничения.
Ответ: конфеты: коробки «Восхищение» и коробок «Мечта».
Ответ:
- конфет.
- конфеты: коробки «Восхищение» и коробок «Мечта».
Примечание:
Здесь и далее в решении выражение в квадратных скобках означает целую часть .