Задача 2 ОЧ-2014 (8 класс)

1. Задачу можно решить перебором (придётся рассмотреть пять случаев). Мы же приведём рассуждения, позволяющие сократить перебор до двух вариантов. Рассмотрим стоимость покупки 3 -х коробок конфет «Восхищение». Их стоимость равна 3*45=135 рублей. Купив их, Серёжа получит 3*8=24 конфеты.

Рассмотрим стоимость покупки 2 -х коробок конфет «Мечта». Их стоимость равна 2*75=150 рублей. Они содержат также 2*12=24 конфеты.

Из этого можно сделать вывод, что Серёжа не будет покупать больше 2-х коробок конфет «Мечта» в месяц (вместо двух этих коробок выгоднее взять три коробки «Восхищение»). Остаётся перебрать два случая.

Перебор:

1) Серёжа покупает одну коробку «Мечта», в которой содержится 12 конфет из молочного шоколада. Также у него остается 800-75=725 рублей на покупку коробок «Восхищение», в каждой из которых по 8 конфет из молочного шоколада:

Q_{\text{ш}} = 12 + \left\lfloor \frac{725}{45} \right\rfloor \times 8 = 12 + 16 \times 8 = 140^{1}

2). Серёжа покупает только «Восхищение»:

Q_{\text{ш}} = \left\lfloor \frac{800}{45} \right\rfloor \times 8 = 17 \times 8 = 136

Таким образом, Серёжа может купить не более 140 конфет из молочного шоколада.

Ответ: 140 конфет.

2. Сразу же после покупки любой коробки конфет Серёже выгодно тут же продать весь белый шоколад Ване. На вырученные от продажи белого шоколада деньги можно докупить ещё несколько коробок конфет.

Таким образом, можно считать, что стоимость одной коробки «Восхищение» стала 45-10*2=25 рублей, а стоимость коробки «Мечта» стала равна 75-20*2=35 рублей.

Аналогично можно рассмотреть стоимость 3 -х коробок «Восхищение» и 2 -х коробок «Мечта», но теперь окажется, что коробку «Мечта» покупать выгоднее. Казалось бы, можно, аналогично случаю A, сделать простой перебор, но уже трёх случаев (можно купить 0,1 или 2 коробки «Восхищение»). Однако в данной задаче это неверно.

Рассмотрим покупку последней коробки конфет. Если это «Восхищение», то Серёжа продаёт 10 конфет Ване, и у него в кармане остаётся 20 рублей, которые он никак не сможет потратить. Если это «Мечта», то Серёжа продаёт 20 конфет Ване, и у него в кармане остаётся 40 рублей, которые он никак не сможет потратить. Таким образом, у нас меняется бюджетное ограничение Серёжи. Если он не покупает ни одной коробки «Восхищение», то в его распоряжении остаётся 800-40=760 рублей. Если он покупает хотя бы одно «Восхищение», то на покупку конфет он может тратить 800-20=780 рублей.

Поэтому нам теперь нужно рассматривать случай, когда Серёжа покупает 3 коробки «Восхищение», так как в случаях Q=3 и Q=0 мы имеем разные бюджетные ограничения.

\begin{aligned} 1).\ Q_B &= 0 \\ Q &= \left\lfloor \frac{760}{35} \right\rfloor \times 12 = 252 \\[8pt] 2).\ Q_B &= 1 \\ Q &= \left\lfloor \frac{780 - 25}{35} \right\rfloor \times 12 + 8 = 260 \\[8pt] 3).\ Q_B &= 2 \\ Q &= \left\lfloor \frac{780 - 50}{35} \right\rfloor \times 12 + 16 = 256 \\[8pt] 4).\ Q_B &= 3 \\ Q &= \left\lfloor \frac{780 - 75}{35} \right\rfloor \times 12 + 24 = 264 \\ \end{aligned}

Ответ: 264 конфеты: 3 коробки «Восхищение» и 20 коробок «Мечта».

Ответ: 

1. 140 конфет.
2. 264 конфеты: 3 коробки «Восхищение» и 20 коробок «Мечта».

Примечание: 

^1 Здесь и далее в решении выражение в квадратных скобках [y] означает целую часть y.