Заметим, что a+b+d=1,5. Составим таблицу с расчетом стоимости всех активов Кузьмы в разных случаях и подставим d=1,5-a-b :

\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Ожидаемая стоимость актива} & \\ \text{при хорошей погоде} & \text{при плохой погоде} \\ \hline S_g = 2a + 0{,}7b + 1{,}1d = & S_b = 0{,}6a + 1{,}4b + 1{,}1d = \\ = 1{,}65 + 0{,}9a - 0{,}4b & = 1{,}65 - 0{,}5a + 0{,}3b \\ \hline \end{array}

(Изначальные коэффициенты перед a и b рассчитаны как отношение новой и старой цены, то есть показывают, во сколько раз увеличиваются вложения. Соответствующее количество акций равно a/10 и b/10, а их стоимость через год, скажем, при хорошей погоде равна 20a/10=2a и 7b/10=0,7b.)

а) Каждая из двух получившихся функций возрастает по одной из переменных ( a или b ) и убывает по другой. Значит, для максимизации нужно выбирать максимально возможное значение одной переменной (1,5 ) и минимальное значение другой (0 ). Таким образом, нужно вкладывать в акции определенной компании все 1,5 миллиона, не оставляя ничего на депозите.

К такому же выводу можно было прийти, сравнив доходности трех активов: у депозита она равна 10\%, у компании A в хорошую погоду и у компании B в плохую погоду — больше (100\% и 40\% ), а у компании B в хорошую погоду и у компании A B в плохую погоду — меньше (-30\% -40\% и -40\% ).

Таким образом, при хорошем прогнозе погоды Кузьма вложит все деньги в акции компании A , а при плохом — вложит все деньги в акции компании B , не оставляя ничего на депозите. (Также ответ можно дать в виде количества акций: нужно купить 150 тыс. акций соответствующей компании.) В первом случае ожидаемая стоимость портфеля через год будет равна 3 млн руб., а во втором она будет равна 2,1 млн руб.

Примечание. Необязательно записывать функции конечной стоимости портфеля именно так, как они записаны выше. В частности, можно выразить из равенства a+b+d=1,5 другую переменную и максимизировать функцию по оставшимся, или решать задачу условной максимизации.

б) Найдем, при каком условии стоимость портфеля в хорошую погоду будет не меньше, чем в плохую (то есть минимальной будет стоимость портфеля при плохой погоде):

1,65 + 0,9a - 0,4b \geq 1,65 - 0,5a + 0,3b \Leftrightarrow 2a \geq b.

Минимальная (из двух типов погоды) стоимость портфеля Кузьмы составит

\min\{S_g, S_b\} = \begin{cases} 1,65 + 0,9a - 0,4b, & \text{если } 2a \leq b; \\ 1,65 - 0,5a + 0,3b, & \text{если } 2a \geq b. \end{cases}

Кузьма стремится, чтобы значение этого выражения было максимально, выбирая a и b, удовлетворяющие условиям a\geq0, b\geq0, a+b\leq1,5. (Значение d затем определяется автоматически из условия d=1,5-a-b.)

Зафиксируем a и найдем оптимальное b при каждом a. Как видно из формулы минимальной стоимости портфеля, Кузьме нужно выбирать самое маленькое b при 2a\leq b и самое большое b при 2a\geq b. Так или иначе, решением будет b=2a, то есть ему нужно сделать так, чтобы стоимость портфеля была одинакова независимо от погоды.

Тогда стоимость активов будет равна

S=1,65+0,9a-0,4*2a=1,65+0,1a.

Видно, что эта функция возрастает по aa, то есть оптимальным будет максимальное значение aa, удовлетворяющие условию a+2a\leq 1,5, откуда a=0,5, b=2a=1, d=0.

Итак, Кузьма должен вложить 500 тыс. руб. в акции компании A и 1 млн руб. в акции компании B . (Также ответ можно дать в виде количества акций: нужно купить 50 тыс. акций компании A и 100 тыс. акций компании B.) Стоимость портфеля через год при этом будет равна

S=1,65+0,1*0,5=1,7 млн руб. независимо от погоды.

Примечание. Как мы видим, оптимальной в данном случае является покупка акций обеих компаний. Это явление получило название диверсификация портфеля или хеджирование рисков. Действительно, если доходность двух акций находится «в противофазe» (экономисты говорят в этом случае об «отрицательной корреляции»), покупка акций второго типа является страховкой от убытков по акциям первого типа, и наоборот.

в) Если Кузьма не платит Гидрометцентру, то, как мы нашли в пункте б), при использовании острожной стратегии он получает 1,7 млн. Рассматривая возможность заплатить гидрометцентру, при осторожной стратегии он должен исходить из плохого прогноза, поскольку там доходность меньше — он будет согласен заплатить X, если даже в худшем случае стоимость его портфеля не уменьшится по сравнению с пунктом (б). Если он заплатит сумму X, то при плохом прогнозе вложит в акции компании B(1,5-X) млн руб. Стоимость его активов в конце, таким образом, составит 1,4(1,5-X).

Чтобы заплатить Гидрометцентру было выгодно, необходимо, чтобы выполнялось неравенство:

1,4(1,5-X)\geq 1,7.

Отсюда X\leq 2/7 млн руб.