Смешанные стратегии
Одним из центральных понятий в теории игр является идея смешанных стратегий. Смешанная стратегия – это такая стратегия, которая специфицирует набор действий, доступных экономическому агенту, и частоту, с которой он выбирает каждое конкретное из этих действий. Рассмотрим простой пример. Два пешехода идут по узкому тротуару навстречу друг другу, и каждый из них должен решить, с какой стороны: справа или слева – обойти другого. Тогда набор действий состоит из двух элементов: "обойти встречного пешехода справа" и "обойти встречного пешехода слева". Допустим, первый пешеход всегда выбирает "обойти встречного пешехода справа" (иначе говоря, его стратегия является чистой), а второй, основываясь на собственном опыте, решает "обойти встречного пешехода справа" ровно в половине случаев. Тогда смешанная стратегия второго пешехода состоит из двух указанных действий и частоты выбора каждого из них – 50%. Василий Семихатов является ярым фанатом большого тенниса и теории игр. Василий знает, что игроки в большом теннисе никогда не посылают мяч в одну и ту же часть поля соперника, иначе говоря, они бьют либо влево (действие Л), либо вправо (действие П), либо по центру (действие Ц). Василий начал подозревать, что атлеты используют смешанные стратегии с набором действий (Л, Ц, П), и озадачился тем, как проверить это предположение.
(а) (8 баллов) Объясните, почему спортсменам вообще может быть выгодно использовать смешанные стратегии.
(б) (9 баллов) Предложите подход, который позволил бы Василию Семихатову эмпирически проверить гипотезу о том, что спортсмены в большом теннисе используют смешанные стратегии.
(в) (8 баллов) Предположим, что Василий Семихатов не нашел подтверждения тому, что спортсмены в большом теннисе используют смешанные стратегии. Укажите две причины, которые могут объяснить расхождение в реальном поведении игроков и поведении игроков согласующимся с использованием смешанных стратегий. Если вы укажете три причины и более, то засчитаны будут только первые две.
(а) Использование смешанных стратегий делает каждое конкретное действие игрока не предсказываемым для конкурента, а значит повышает его шансы на выигрыш. Например, если бы какой-то игрок систематически выбирал действие Л, то оппонент очень быстро вычислил бы это и использовал в собственных интересах, снижая шансы игрока, который использует описанную в примере стратегию, на победу.
(б) Поскольку смешанная стратегия позволяют сделать действие игрока непредсказуемым, то для тестирования гипотезы Василию Семихатову нужно проверить, может ли действие, выбранное игроком сейчас, быть предсказано с помощью действия, которое он выбрал при предыдущем ударе. Иначе говоря, необходимо установить, есть ли какая-то систематическая последовательность действий, используемая тем или иным игроком (например, Л практически всегда после П, а Ц практически всегда после Л). Если таковая систематическая последовательность действий обнаружена, то стоит предполагать, что игрок отказался от использования смешанной стратегии в игре. Чтобы применить такой подход, можно, например, записать последовательность действий, выбираемых каждым конкретным игроком в ходе игры, а также определить частоту использования этих действий. Затем проверить, есть ли какие-то статистически устойчивые закономерности действий игрока. Если такие закономерности не найдены, то можно предположить, что игрок использует смешанную стратегию.
(в) Приведем возможные причины. 1) В зависимости от того, на какой стадии находится игра (например, ближе к финалу), значимость выигранных очков, а следовательно, и стратегия игрока могут меняться. 2) Игроки могут обладать определенной информацией друг о друге (например, спортсмен знает, что его конкурент часто использует определенные комбинации действий. Поэтому, наблюдая начало такой комбинации у противника, игрок может предпринимать заранее заготовленные ответные действия или их комбинацию. 3) Игроки «нерациональны» и не понимают, что используемые ими стратегии, комбинации предпринимаемых ими действий в игре, недостаточны, чтобы сделать их действия непредсказуемыми для конкурента.