Тяжела жизнь театрала, а тут ещё и сестру «воспитывать»....
Стефа Дашкевич за неделю может собрать 24 кг земляники, или прочитать 12 книг, или потратить силы на любую их линейную комбинацию. Если книги приносят девушке удовольствие сразу, то землянику вместо того, чтобы съесть, можно также продать бабкам на базаре по цене 100 рублей за кг. Рубли она тратит на походы в театр с Вадимом: один билет стоит 700 рублей. К счастью, у неё есть Милаша, любимая сестра, которая в неделю собирает 48 кг земляники (за счёт детской прыткости) или 4 сочнейшие шишки. Ей также доступна любая линейная комбинация этих благ. Одна шишка для Стефании эквивалентна одной прочитанной книге. Проблема в том, что просто так сестрёнка работать не станет, и поэтому её требуется «воспитать», на «воспитание» Мелании Стефе нужно тратить 1/3 своего времени каждую неделю. Однако даже так проблем не избежать: собирая ягоды, Милаша по советам мудрой старшей сестры будет из 3 ягод2 2 отправлять в рот и только одну собирать в корзинку.
Сколькими ягодами, книгами, шишками и спектаклями насладится Стефушка, если каждая книга приносит ей 3 единицы счастья, пьеса — 7 единиц, а X кг съеденной земляники вместе принесут 6\sqrt{X} единиц?
I. Найдём суммарную КПВ Стефании и Милаши:
1) Если Стефа работает без сестры, её КПВ задаётся уравнением З=24-2*К, где З – земляника, а К – книги.
2) Если Стефа работает вместе с сестрой, то её производство станет меньше на 1/3, так как часть времени она потратит на «воспитание»: З=16-2*К — КПВ одной Стефании.
При этом до неё дойдут все шишки и треть ягод Мелании => максимальное производство ягод сестрой упадёт до 48/3=16. Тогда КПВ Ми с точки зрения Стефы — З=16-4*К.
Так как работают сёстры независимо, для получения итоговых производственных возможностей сложим две полученные КПВ. Заметим, что, производя одну книгу (шишку), Стефа теряет 2 кг земляники, а Ми — 4 килограмма, поэтому сначала старшая сестра будет читать книги, а после Мелания собирать эквивалентные книгам шишки. Получим суммарную КПВ:
З = \begin{cases} 32 - 2K, & \text{если } K < 8; \\ 48 - 4K, & \text{если } K \geq 0. \end{cases}
Изобразим КПВ Стефы в случае работы в одиночку и вместе с сестрой на одном графике (оранжевая линия — вместе, чёрная — в одиночку):
Видим, что суммарная КПВ двух сестёр всегда выше => Стефания всегда предпочтёт «воспитать» себе работницу.
II. Найдём отношения предельной полезности каждого блага к их цене, выраженной в землянике.
1) Цена килограмма земляники в землянике равна 1 (удивительно, правда?),
2) Одна пьеса стоит столько же, сколько 700/100=7 кг земляники,
3) «Цена» книг (шишек) меняется в зависимости от участка КПВ: на первом участке Стефания читает книгу, жертвуя 2 кг земляники, а на второй Ми собирает одну шишку, жертвуя 4 кг.
III. Поделим предельную полезность каждого блага на их цену:
1)Книги — MU/P=3/4=0,75 или 3/2=1,5 для Милаши и Стефании соответственно,
2) Пьесы — MU/P=7/7=1,
3) Земляника — \frac{\text{MU}}{P} = (6\sqrt{3})' = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{З}} (сверху — тройка, снизу — З, земляника).
Так как предельная полезность земляники убывает, а у других благ она постоянна, то они сходятся в равенстве.
\frac{MU_\text{П}}{P_\text{П}} = 1 = \frac{3}{\sqrt{З}}
=> первые 9 килограмм ягод Стефа съедает, а дальше меняет их на билеты в театр, если это приносит большую полезность, чем чтение (шишки).
4) Так как каждая собранная Ми шишка приносит 0,75 единиц счастья, а пьесы 1 единицу, то младшенькая станет собирать только землянику. Так как максимум она производит 16 кг(>9 кг), этого хватит, чтобы Стефа наелась ягодами и стала посещать театр, продавая все оставшиеся.
5) Для старшей сестры всё наоборот: прочитанная книга приносит ей 1,5 единицы счастья на пожертвованную землянику, а пьеса — 1 единицу => она будет только читать книги, предоставив сбор ягоды Мелании.
Итого получаем, что Стефания читает максимальное количество книг (8 шт), а Милаша собирает для неё максимум земляники (16 кг), из которых 9 кг пойдут на стол к «вышестоящей», а ещё 7 кг будут обменены на 1 билет в театр. И да, младшенькая съест аж 32 кг ягоды во время работы.
Ответ:
8 книгами, 9 кг земляники, 1 спектаклем и 0 шишек.