Задача 2 заключительного этапа ВОШ — 2007
Экономика страны Тригоноляндии, получившей независимость после обращения президента к нации в новогоднюю полночь с наступлением XXI века (т.е. 31 декабря 2000 года), развивается по кривой Y(t)=sin(t)+\frac{t}{2} , где t – количество лет, прошедших с момента получения независимости (сейчас 6<t<7 ), а Y – реальный ВВП, млрд. долл. Специалисты Министерства экономического развития Тригоноляндии установили, что динамика уровня цен в стране описывается функцией P=cos(t+1)+\frac{t+1}{2}.
1. В каком году впервые в истории независимой Тригоноляндии экономический подъем сменился спадом?
2. В каком году закончится (закончилась) первая рецессия? Чем она может (могла) быть вызвана?
1. Определим экстремумы функции реального ВВП Y(t) = \sin(t) + \frac{t}{2}.
Y'(t) = \cos(t) + 0.5 = 0
Следовательно, максимумы (точки пиков) соответствуют значениям t = \frac{2\pi}{3} + 2n\pi ,
а минимумы (точки дна) соответствуют значениям t = - \frac{2\pi}{3} + 2n\pi
Таким образом, первый пик будет при n = 0, \ t = \frac{2\pi}{3} \approx 2.0944 , то есть в 2003 году (примерно, в феврале). С этого момента начнется первый спад.
2. Первое «дно» будет при n = 1, \ t = \frac{2\pi}{3} + 2\pi = 4.189 , то есть в 2005 году (примерно, в марте). С этого момента закончилась первая рецессия. Поскольку уменьшение реального ВВП сопровождалось (в соответствии с прогнозами МЭРТ) инфляцией (функция P(t) на этом участке возрастает, в чем можно убедиться, взяв производную и подставив в нее значение t = 4,189), можно предположить, что рецессия была вызвана шоком совокупного предложения.