Хлеб Мальтуса
Экономика в бедной доиндустриальной стране использует все свои производственные ресурсы для выращивания единиц хлеба каждый год. Весь объём хлеба поровну делится между жителями страны, так как каждый прикладывает одинаковые усилия к производству: , где — реальная зарплата человека в единицах хлеба, — численность населения страны. Каждый год в стране рождается и умирает некоторое количество людей. Смертность за год (в долях) , то есть отношение количества умерших людей к общей численности населения, равна единице, если жители не получают хлеба вовсе и уменьшается на с увеличением реальной зарплаты на одну единицу хлеба, но при достаточно высоких доходах естественная смертность составляет и не может опускаться ниже этого уровня. Рождаемость за год (в долях) нулевая при отсутствии дохода и возрастает на при росте на единицу, но рождаемость не может превышать единицу.
- Запишите функции и , нанесите их на один график. По вертикали откладывайте зарплату . Запишите правило (формулу), по которому от года к году изменяется численность населения в зависимости от смертности и рождаемости.
- Определите, сколько людей будут жить в стране в равновесном состоянии (то есть если число людей не будет изменяться от года в год), если известно, что хлеба в стране может быть выращено только единиц в год. На каком уровне установится заработная плата? Здесь и далее считайте, что , .
- Пусть число людей в стране изначально равнялось значению, найденному в предыдущем пункте. В этом году половина всех людей отправились покорять земли Нового Света. Что произойдёт с зарплатой, численностью населения, рождаемостью и смертностью через год? Через два года? Через три года? Проиллюстрируйте решение этого пункта на графике: рядом с графиком, построенным в пункте , постройте график таким образом, чтобы оси на двух графиках были параллельны и значения на них совпадали на перпендикулярных им линиях. С помощью графиков объясните происходящие процессы на качественном уровне.
- После событий пункта прошло лет. В этом году из-за технологического прогресса объём производимого в стране хлеба увеличился в полтора раза. Что будет происходить с зарплатой, численностью населения, рождаемостью и смертностью в течение следующих нескольких лет? Прокомментируйте данную ситуацию с помощью графиков. Стала ли жизнь людей лучше от технологического прогресса? Почему?
- Без расчётов интуитивно и графически объясните, к чему приведёт миграция в страну, техногенная катастрофа, улучшение качества медицинских услуг в стране, затяжная война или эпидемия, а также распространение средств контрацепции.
Ответ
Смертность: рождаемость :
Численность населения: $L_t = L_{t-1} + L_{t-1} \cdot (\beta_{t-1} - \delta_{t-1})$
Если число людей не изменяется от года к году, то смертность должна быть равна рождаемости, откуда приходим к уравнению . Получаем . Подставляем это значение в уравнение , откуда .
Зарплата в этом году составит единицу, из-за чего рождаемость повысится до , а смертность упадёт до . Так как численность населения изменяется по следующему правилу: , то через год людей станет , из-за чего зарплата упадет до уровня . Рождаемость и смертность изменятся до и , соответственно. Тогда численность населения в следующем году вернётся к уровню в человек, и со следующего года страна будет оставаться в этом равновесии. Интуиция: в моменте подушевой доход сильно вырастет, потому что людей станет больше, но из-за чего вырастет численность населения, так как в стране стало жить лучше. Из-за ограниченности ресурсов доходы сократятся и со временем экономика вернётся к изначальному состоянию.
Доход в этом году составит , рождаемость , смертность , численность населения вырастет до . В следующем году доход , рождаемость и смертность и , тогда численность населения в следующем году станет , доход , экономика в равновесии. Лучше жизнь не стала. Прогресс привёл только к увеличению численности населения, поскольку люди всё также конкурируют за ограниченные ресурсы.
Миграция — сокращение численности населения — эффект, обратный пункту в); техногенная катастрофа — сокращение объёмов производства — обратный эффект пункту г); улучшение качества медицинских услуг — кривая смертности сдвигается влево, равновесные доходы падают, людей становится больше; затяжная война или эпидемия — в в моменте это сокращение численности населения плюс сдвиг кривой смертности вправо — людей станет меньше, но доходы вырастут (в этом как раз и спорность мальтузианства, что война и эпидемия это «хорошо»), распространение контрацепции — сдвиг кривой рождаемости влево, людей станет меньше, доходы выше.