Хлеб Мальтуса
Экономика в бедной доиндустриальной стране использует все свои производственные ресурсы для выращивания Y единиц хлеба каждый год. Весь объём хлеба поровну делится между жителями страны, так как каждый прикладывает одинаковые усилия к производству: w=Y/L, где w — реальная зарплата человека в единицах хлеба, L — численность населения страны. Каждый год в стране рождается и умирает некоторое количество людей. Смертность за год (в долях) \delta, то есть отношение количества умерших людей к общей численности населения, равна единице, если жители не получают хлеба вовсе и уменьшается на d с увеличением реальной зарплаты на одну единицу хлеба, но при достаточно высоких доходах естественная смертность составляет 10\% и не может опускаться ниже этого уровня. Рождаемость за год (в долях) \beta нулевая при отсутствии дохода и возрастает на b при росте w на единицу, но рождаемость не может превышать единицу.
- Запишите функции \delta(w) и \beta(w), нанесите их на один график. По вертикали откладывайте зарплату w. Запишите правило (формулу), по которому от года к году изменяется численность населения в зависимости от смертности и рождаемости.
- Определите, сколько людей будут жить в стране в равновесном состоянии (то есть если число людей не будет изменяться от года в год), если известно, что хлеба в стране может быть выращено только 100 единиц в год. На каком уровне установится заработная плата? Здесь и далее считайте, что d=1, b=1.
- Пусть число людей в стране изначально равнялось значению, найденному в предыдущем пункте. В этом году половина всех людей отправились покорять земли Нового Света. Что произойдёт с зарплатой, численностью населения, рождаемостью и смертностью через год? Через два года? Через три года? Проиллюстрируйте решение этого пункта на графике: рядом с графиком, построенным в пункте 1, постройте график w=Y/L таким образом, чтобы оси w на двух графиках были параллельны и значения на них совпадали на перпендикулярных им линиях. С помощью графиков объясните происходящие процессы на качественном уровне.
- После событий пункта 3 прошло 5 лет. В этом году из-за технологического прогресса объём производимого в стране хлеба увеличился в полтора раза. Что будет происходить с зарплатой, численностью населения, рождаемостью и смертностью в течение следующих нескольких лет? Прокомментируйте данную ситуацию с помощью графиков. Стала ли жизнь людей лучше от технологического прогресса? Почему?
- Без расчётов интуитивно и графически объясните, к чему приведёт миграция в страну, техногенная катастрофа, улучшение качества медицинских услуг в стране, затяжная война или эпидемия, а также распространение средств контрацепции.
1. Смертность: \delta(w) = \begin{cases} 1 - dw, & w \leq \frac{0.9}{d} \\ 0.1, & w > \frac{0.9}{d} \end{cases} рождаемость : \beta(w) = \begin{cases} bw, & w \leq \frac{1}{b} \\ 1, & w > \frac{1}{b} \end{cases}
Численность населения: L_t = L_{t-1} + L_{t-1} \cdot (\beta_{t-1} - \delta_{t-1})
2. Если число людей не изменяется от года к году, то смертность должна быть равна рождаемости, откуда приходим к уравнению 1-w=w. Получаем w=0,5. Подставляем это значение в уравнение w=100/L, откуда L=200.
3. Зарплата в этом году составит 100/100=1 единицу, из-за чего рождаемость повысится до 1, а смертность упадёт до 0,1. Так как численность населения изменяется по следующему правилу: L_t = L_{t-1} + L_{t-1} \cdot (\beta - \delta), то через год людей станет 100+100*0,9=190, из-за чего зарплата упадет до уровня 100/190. Рождаемость и смертность изменятся до 100/190 и 90/190, соответственно. Тогда численность населения в следующем году вернётся к уровню в 200 человек, и со следующего года страна будет оставаться в этом равновесии. Интуиция: в моменте подушевой доход сильно вырастет, потому что людей станет больше, но из-за чего вырастет численность населения, так как в стране стало жить лучше. Из-за ограниченности ресурсов доходы сократятся и со временем экономика вернётся к изначальному состоянию.
4. Доход в этом году составит 150/200, рождаемость 3/4, смертность 1/4, численность населения вырастет до 250. В следующем году доход 0,6, рождаемость и смертность 3/5 и 2/5, тогда численность населения в следующем году станет 300, доход 0,5, экономика в равновесии. Лучше жизнь не стала. Прогресс привёл только к увеличению численности населения, поскольку люди всё также конкурируют за ограниченные ресурсы.
5. Миграция — сокращение численности населения — эффект, обратный пункту в); техногенная катастрофа — сокращение объёмов производства — обратный эффект пункту г); улучшение качества медицинских услуг — кривая смертности сдвигается влево, равновесные доходы падают, людей становится больше; затяжная война или эпидемия — в в моменте это сокращение численности населения плюс сдвиг кривой смертности вправо — людей станет меньше, но доходы вырастут (в этом как раз и спорность мальтузианства, что война и эпидемия это «хорошо»), распространение контрацепции — сдвиг кривой рождаемости влево, людей станет меньше, доходы выше.