(13 баллов) Фокусник и его ассистент готовятся показать следующий фокус. У них есть колода из 2026 различных карт. Они сообщают зрителю натуральное число k≤1013. Зритель выбирает k произвольных карт из колоды, убирает их в конверт и заклеивает его. Затем ассистент выбирает k карт из оставшихся и пер
(14 баллов) Найдите все многочлены P(x) с рациональными коэффициентами, удовлетворяющие условию: для P(x) существует такое бесконечное множество целых чисел S, что для любого числа n из S число dfrac{1}{P((1/n))} является целым.
(14 баллов) В пространстве размещен выпуклый многогранник. Для каждой четверки его вершин, если эта четверка не лежит в одной плоскости, вычислили объем тетраэдра с вершинами в ней. Оказалось, что все вычисленные объемы равны. Сколько вершин могло быть у исходного многогранника? Найдите все варианты
(17 баллов) Зафиксировано натуральное число n≥4. В пространстве выбрана система прямоугольных координат Oxyz и размещен куб с ребром n, разбитый на кубики с ребром 1 (ребра куба параллельны осям координат). Изначально в некоторых n кубиках записаны натуральные числа от 1 до n, каждое по одному разу.
(19 баллов) На плоскости отмечено 800 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Докажите, что найдутся два несовпадающих треугольника с вершинами в отмеченных точках, отношение периметров которых отличается от 1 менее чем на (1/3800000).
(23 балла) В каждой клетке таблицы 2026 × 2026 записано натуральное число от 1 до 2026, причем в каждом столбце числа не повторяются, а также в каждой строке числа не повторяются. Все клетки таблицы закрыты карточками. Разрешается один раз выбрать несколько карточек, а затем одновременно убрать их.
