Высшая проба 2026, 11 класс, задача 2

Ответ. Непостоянные многочлены , где — произвольное рациональное, если , и постоянные многочлены для произвольных целых .

Решение . Если многочлен постоянный и равен числу , то имеет вид для целого . Очевидно, что все такие постоянные многочлены подходят. Далее в этом и последующих решениях будем считать, что — непостоянный многочлен. Докажем вначале лемму.

Лемма. Пусть для многочлена с рациональными коэффициентами существует бесконечное множество целых чисел и фиксированное число , для каждого из которых число делится на . Тогда .

Доказательство леммы. Представим каждый коэффициент многочлена в виде несократимой дроби и домножим каждый коэффициент на — наименьшее общее кратное всех знаменателей (далее в этом и последующих решениях остается таким же). Получим многочлен

уже с целыми коэффициентами, а условие делимости перепишется как делимость числа на для всех . Если , то , что и требовалось. Пусть хотя бы два коэффициента не равны нулю. Без ограничения общности можно считать, что , в противном случае, пусть , — ненулевой коэффициент с наименьшим номером, тогда в дроби

сократим и задача сведется к задаче для показателя и многочлена с ненулевым свободным членом.

По условию для каждого из число делится на . Представим , где — ненулевой многочлен. Тогда и . Возведем данное сравнение в степень и домножим на : , откуда с учетом условия делимости на имеем делимость на для всех . Множество бесконечно и состоит из целых чисел, поэтому оно не ограничено, а значит и множество значений не ограничено (в частности, бесконечно). Но из предыдущего следует, что ненулевое число делится на каждое число из бесконечного множества, чего быть не может, поэтому, . Аналогично, для всех верно , откуда , а значит и . Лемма доказана.

Из доказанного следует, что если имеет ненулевой свободный член, то он обязан быть постоянным.

Теперь перепишем выражение

В знаменателе стоит многочлен , коэффициенты которого равны коэффициентам , но расположены в обратном порядке. Применяя лемму к многочлену и учитывая, что (т.е. имеет ненулевой свободный член), заключаем, что — постоянный. А это означает, что . Наконец, для любого рационального числа , представленного в виде несократимой дроби , можно подобрать множество целых чисел, для которых

будет целым — например, подойдет множество . Таким образом, все подходят, а других быть не может.

Решение . Докажем лемму из предыдущего решения немного по-другому. Снова представим в виде , где уже целочисленный многочлен с ненулевым свободным членом. В этом случае условие леммы переписывается следующим образом: число делится на для всех чисел из бесконечного множества . Многочлены и имеют целые коэффициенты и взаимно просты, поэтому из линейного выражения НОД многочленов следует существование целочисленных многочленов , и ненулевого целого числа , для которых

Подставим из в это равенство: , а с учетом делимости на имеем . Если многочлен непостоянный, то его значения на неограниченном множестве неограничены, поэтому произведение либо неограничено (как следствие, принимает бесконечно много различных значений), либо тождественный нуль для всех . Оба варианта противоречат построению — оно ненулевое и не может иметь бесконечно много делителей. Поэтому обязан быть постоянным многочленом, что доказывает лемму. Дальнейший вывод аналогичен концу первого решения.

Решение . Вначале докажем лемму.

Лемма. Пусть — рациональная функция с целыми коэффициентами, про которую известно, что она принимает целые значения на некотором бесконечном множестве целых чисел. Тогда многочлен делится на многочлен .

Доказательство леммы. Разделим числитель на знаменатель с остатком и представим ее в виде суммы , где — многочлен, а — рациональная дробь, в которой степень числителя строго меньше степени знаменателя. Тогда будет многочленом с рациональными коэффициентами. Домножим равенство на НОК знаменателей коэффициентов : целочисленность значений сохранится, а останется рациональной функцией, у которой степень числителя меньше степени знаменателя, поэтому далее считаем, что имеет целые коэффициенты. Тогда по условию — целое число для бесконечно многих . Значит, тоже целое как разность целого и значения целочисленного многочлена в целых точках .

С другой стороны,

причем , откуда видно, что числитель ограничен на любом множестве ненулевых целых чисел (при любых целых его абсолютная величина не превосходит ), а знаменатель неограничен на бесконечном множестве целых чисел , таким образом, при всех достаточно больших это отношение мало по абсолютной величине (в частности, его абсолютная величина меньше ), что обязывает его быть равным . Но тогда и само тождественный нуль, так как в противном случае было бы равно нулю лишь для конечного набора . Это показывает, что — тождественный нуль, а значит, делится на . Лемма доказана.

Применим лемму к рациональной функции

где коэффициенты уже целые. По доказанной лемме функция

обязана быть многочленом, т.е. делит многочлен , поэтому . Но с учетом того, что его свободный член не равен нулю, остается только вариант, когда все остальные коэффициенты равны нулю, т.е. постоянный. Значит, $P(x)=ax