В каждой точке A плоскости стоит вещественное число f(A). Известно, что если M - точка пересечения медиан треугольника ABC, то f(M)=f(A)+f(B)+f(C). Докажите, что f(A)=0 для всех точек A. (А. С. Голованов)
Даны n монет попарно различных масс и n чашечных весов, n>2. При каждом взвешивании разрешается выбрать какие-то одни весы, положить на их чаши по одной монете, посмотреть на показания весов и затем снять монеты обратно. Какие-то одни из весов (неизвестно, какие) испорчены и могут выдавать случайным
Дана треугольная пирамида ABCD. Сфера ωA касается грани BCD, а также плоскостей остальных граней вне самих граней. Аналогично, сфера ωB касается грани ACD, а также плоскостей остальных граней вне самих граней. Пусть K - точка касания сферы ωA с плоскостью ACD, а L -
Радиусы пяти концентрических окружностей ω0,ω1,ω2,ω3,ω4 образуют в указанном порядке геометрическую прогрессию со знаменателем q. При каком наибольшем q можно нарисовать незамкнутую ломаную A0A1A2A3A
На стороне AC равнобедренного треугольника ABC с основанием BC взята точка D. На меньшей дуге CD окружности, описанной около треугольника BCD, выбрана точка K. Луч CK пересекает прямую, параллельную BC и проходящую через A, в точке T. Пусть M - середина отрезка DT. Докажите, что angle AKT=angle CAM.
Даны непостоянный многочлен P(x) с целыми коэффициентами и натуральное число n. Положим a0=n, ak=P(ak-1) при всех натуральных k. Оказалось, что для любого натурального b в последовательности a0,a1,a2,ldots есть число, являющееся b-й с
Дано натуральное n. Из 26 единичных белых кубиков и одного чёрного кубика собирается куб 3 × 3 × 3 так, что чёрный кубик находится в его центре. Из n3 таких кубов с ребром 3 составили куб с ребром 3n. Какое наименьшее количество белых кубиков можно перекрасить в красный цвет так, чтобы ка
