(20 баллов) Назовём главными делителями составного числа n два наибольших его натуральных делителя, отличных от n. Составные натуральные числа a и b таковы, что главные делители числа a совпадают с главными делителями числа b. Докажите, что a=b. (А.С. Голованов) (20 баллов) На стороне BC остроугольного треугольника ABC отмечены точки D и E так, что BD=CE. На дуге DE описанной окружности треугольника ADE, не содержащей точку A, нашлись такие точки P и Q, что AB=PC и AC=BQ. Докажите, что AP=AQ. (А. Кузнецов) (20 баллов) Изначально на доске написана пара чисел (1,1). Если для некоторых x и y на доске написана одна из пар (x,y-1) и (x+y,y+1), то можно дописать другую. Аналогично, если на доске написана одна из пар (x,xy) и (frac1x,y), то можно дописать другую. Докажите, что в каждой выписанной паре первое (20 баллов) Дано натуральное число n>4. На плоскости отмечены n точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Василий проводит по одному все отрезки, соединяющие пары отмеченных точек. На каждом шаге, проводя очередной отрезок S, Василий помечает его наименьшим натуральным числом, которым (20 баллов) На доске написаны 11 целых чисел (не обязательно различных). Может ли оказаться, что произведение любых пяти из них больше, чем произведение остальных шести? (И. Богданов) (20 баллов) Дано натуральное число n>5. На кольцевой полоске бумаги написана последовательность из нулей и единиц. Для каждой последовательности w из n нулей и единиц посчитали количество способов вырезать из полоски фрагмент, на котором написана w. Оказалось, что наибольшее количество M достигается (20 баллов) На стороне BC параллелограмма ABCD отмечена точка E, а на стороне AD — точка F так, что описанная окружность треугольника ABE касается отрезка CF. Докажите, что описанная окружность треугольника CDF касается прямой AE. (А. Кузнецов, П. Кожевников) (20 баллов) Для натурального числа N рассмотрим все различные точные квадраты, которые можно получить из N вычёркиванием одной цифры в его десятичной записи. Докажите, что количество этих квадратов не превосходит некоторой величины, не зависящей от N. (С. Берлов, Ф. Петров, Д. Крачун) 
