Всесиб 2024, отборочный этап, 7 класс, задача 4
( баллов) В музее современного искусства висит картина, представляющая собой квадрат , сшитый из лоскутов разного цвета. Каждый посетитель музея может переделать эту картину, поменяв местами либо две строки этого квадрата, либо два столбца. Сколько всего различных вариантов этой картины могут сообща сделать посетители музея? Картины, отличающиеся поворотом или переворотом, считаются различными.
(Найдите ответ и обоснуйте, что он верен.)
Ответ
Решение. Заметим, что в верхний левый угол может быть поставлен любой из цветов. Пусть он находился в строке и столбце . После этого в первой строке будут стоять те же цвета, что и в изначально, а в первом столбце — что и в . Переставить три оставшихся цвета в строке можно способами, в столбце тоже, а после этого вся оставшаяся таблица определится однозначно. Значит, всего картин — способов выбрать верхний левый угол, затем первую строку, затем первый столбец, и все эти способы различны. Итого, ответ равен .