МОШ 2026, 11 класс, задача 2

Сложная
Комбинаторика
Источник:
Московская олимпиада школьников, Заключительный этап, 2026, 11 класс, Второй тур

Действительные числа , , , таковы, что

Докажите, что .

(М. Гасанов)

Ответ

Решение. Если и , то , что противоречит первому из неравенств в условии задачи. Следовательно, или . Без ограничения общности можно считать, что . Функция строго возрастает, так как её производная положительна при всех . Поэтому , т. е. . Складывая это неравенство со вторым неравенством из условия задачи, получаем , что и требовалось доказать.

Похожие задачи

МОШ 2024, 11 класс, задача 2

Чемпионат по футболу проходил в два круга. В каждом круге каждая команда сыграла с каждой один матч (за победу даётся три очка, за ничью одно, за поражение ноль). Оказалось, что все команды вместе набрали в первом круге 60% от общей суммы всех очков за два круга. Известно также, что победитель чемпи
Сложная
Комбинаторика

МОШ 2024, 9 класс, задача 5

В ряд стоят 9 вертикальных столбиков. В некоторых местах между соседними столбиками вставлены горизонтальные палочки, никакие две из которых не находятся на одной высоте. Жук ползёт снизу вверх; когда он встречает палочку, он переползает по ней на соседний столбик и продолжает ползти вверх. Известно
Сложная
Комбинаторика

МОШ 2021, 9 класс, задача 3

В узлах сетки клетчатого прямоугольника 4 × 5 расположены 30 лампочек, изначально все они погашены. За ход разрешается провести любую прямую, не задевающую лампочек (размерами лампочек следует пренебречь, считая их точками), такую, что с какой-то одной стороны от неё ни одна лампочка не горит, и заж
Сложная
Комбинаторика

МОШ 2025, 9 класс, задача 4

Каждая клетка квадрата 100 × 100 покрашена либо в белый, либо в чёрный цвет. Оказалось, что у каждой белой клетки ровно две соседних с ней по стороне клетки покрашены в белый цвет, а у каждой чёрной клетки ровно две соседних с ней по стороне клетки покрашены в чёрный цвет. Найдите максимальное возмо
Сложная
Комбинаторика