Физтех 2026, отборочный этап, 10 класс, второй тур, задача 9
Имеется палитра из нескольких различных оттенков цветов. Известно, что все оттенки из неё кроме сиреневого сочетаются с разным количеством других оттенков палитры (включая сиреневый), а сиреневый сочетается ровно с -ю. Какое наименьшее количество оттенков может быть в такой палитре?
Ответ
Ответ. .
Решение. Если среди всех остальных оттенков (без сиреневого) есть оттенок , который сочетается со всеми другими, то каждый сочетается по крайней мере с одним оттенком, следовательно, в группе остальных количества сочетающихся оттенков распределены так: , где — общее количество оттенков в палитре. Удалив из группы остальных оттенков два: оттенок и тот, который сочетается только с (т. е. имеющего ровно «дружественный» оттенок), получим аналогичную ситуацию, только вместо будет . Так, попарно удаляя оттенки, мы придём к ситуации, когда из группы остальных либо удалены все, либо остался один, который сочетается с сиреневым. При каждом удалении число оттенков, сочетающихся с сиреневым, уменьшается на . Значит, были удалены либо оттенков, и тогда их общее количество равно , либо удалены оттенка, и при этом один остался: в этом случае получаем число .
Если среди остальных (кроме сиреневого) нет оттенка, который сочетается со всеми, то между ними количества возможных сочетаний распределены так: . В этом случае, если удалить тот оттенок, который ни с чем не сочетается, то получится предыдущая ситуация — оттенок, сочетающийся с другими, сочетается со всеми оставшимися кроме него. Поэтому в этом случае число оттенков равно или .