Всесиб 2026, отборочный этап, 10 класс, задача 1
( баллов) Пусть — действительные числа, большие, чем . Покажите, что хотя бы один из трёхчленов или имеет два различных действительных корня.
Ответ
Доказательство. Дискриминанты уравнений из условия равны соответственно и . Если оба этих уравнения имеют не больше, чем по одному действительному корню, то эти дискриминанты не положительны и одновременно выполнены неравенства и . Обе части каждого неравенства неотрицательны, поэтому их можно перемножить и получить неравенство . Сокращаем это на положительное число , получим неравенство , что противоречит неравенствам , из условия.