Всесиб 2025, отборочный этап, 10 класс, задача 3
( баллов) Доказать, что для любых неотрицательных чисел , выполняется неравенство: .
Ответ
Доказательство 1. Сделаем замену , , тогда .
Исходное неравенство эквивалентно такому: , обе его стороны положительны, можно возвести в квадрат, после чего получим — очевидно верное неравенство.
Доказательство 2. Если не умничать, то начинаем последовательные возведения в квадрат, избавляясь от радикалов. После первого возведения получаем: , после приведения подобных имеем: , то есть . Выполнив возведение в четвёртую степень в правой части, и приведя подобные, получим: , что, естественно, верно.