Всесиб 2024, отборочный этап, 9 класс, задача 1
( баллов) Два пешехода одновременно вышли из пунктов и навстречу друг другу с постоянными скоростями по одной дороге. В какой-то момент они встретились первый раз и продолжили движение. Затем, достигнув противоположного пункта, каждый из них развернулся и двинулся в обратном направлении с той же скоростью, после чего в какой-то момент они встретились во второй раз. Их первая встреча произошла в метрах от ближайшего в этот момент из пунктов и , а вторая — в метрах от другого из этих пунктов. Каково расстояние между и ?
Ответ
Ответ. метров.
Решение. Обозначим расстояние между пунктами и за метров и выразим двумя способами отношение скоростей пешеходов. Без ограничения общности можно считать, что первая встреча произошла в метрах от пункта . При этом скорость первого пешехода выше скорости второго, а вторая встреча произошла в метрах от . Тогда отношение скоростей первого и второго пешеходов равно отношению расстояний от места их первой встречи до и , то есть . С другой стороны, то же отношение равно отношению расстояний плюс от места второй встречи до и , то есть . Получаем уравнение
откуда и .