Всесиб 2025, отборочный этап, 8 класс, задача 2
( баллов) Антон стоит на остановке и ждёт трамвай. Так как ждёт он уже очень долго, мальчик подумывает дойти до следующей остановки пешком, но опасается, что подлый трамвай проедет мимо него, когда он будет находиться между остановками. Антон знает, что способен заметить трамвай на расстоянии в км, что до следующей остановки ровно км, и что бегает он в раза раза медленнее трамвая. Может ли Антон со спокойной душой идти до следующей остановки, или есть шанс упустить трамвай?
Ответ
Решение. Докажем, что Антон может пойти пешком. Пусть он прошёл км от первой остановки и заметил трамвай в двух километрах от себя.
Если мальчик побежит назад, он встретит трамвай через километра, так как при сближении скорость Антона составляет от скорости сближения мальчика с трамваем. Значит, если , он сумеет сесть в вагон на остановке, с которой он ушёл.
Если мальчик побежит вперёд, он встретит трамвай через километра из аналогичных соображений. Значит, если , Антон сумеет сесть в вагон на следующей остановке.
В силу того, что , Антон всегда успеет добежать до какой-либо из остановок и сесть на трамвай.