Всесиб 2026, отборочный этап, 11 класс, задача 1

( баллов) Докажите, что величина выражения

если оно определено, не зависит от и . Найдите её.

Ответ

Ответ. .

Решение. Приведём сумму дробей в правой части неравенства из условия к общему знаменателю, получим . Аккуратно раскроем скобки в числителе, при этом кубы всех переменных сократятся, останется сумма . Аккуратно раскроем скобки в знаменателе, при этом сократятся слагаемые и , останется сумма . Следовательно, отношение числителя и знаменателя равно .

Если верное значение найдено вычислениями на каком-нибудь примере (примерах).

Максимум: 7

Похожие задачи

Всесиб 2022, отборочный этап, 10 класс, задача 2

(7 баллов) Пусть x, y, z — действительные числа такие, что (x+y+z)(xy+yz+xz)=xyz. Докажите, что среди чисел x, y, z обязательно найдутся два, сумма которых равна нулю.

Простая

Алгебра

Всесиб 2022, отборочный этап, 11 класс, задача 1

(7 баллов) Пусть x, y — действительные числа такие, что оба числа x+dfrac1y, y+dfrac1x рациональны. Докажите, что тогда и число x²y²+(1/x²y²) тоже рационально.

Простая

Алгебра

Всесиб 2022, отборочный этап, 9 класс, задача 1

(7 баллов) Пусть числа x, y, u, v различны и выполнено соотношение (x+u/x+v) =(y+v/y+u). Найдите все возможные значения суммы x+y+u+v.

Простая

Алгебра

Уравнения

Всесиб 2026, отборочный этап, 7–8 классы, задачи 7.2 и 8.1

(7 баллов) Принц Артас решил инвестировать в криптовалюту. Для этого он отдаёт Криптлорду 60 золотых, после чего количество оставшихся денег у принца удваивается. После трёх таких инвестиций у Артаса золота стало в 2 раза меньше, чем было изначально. Сможет ли он инвестировать в четвёртый раз?

Простая

Алгебра

Уравнения