Всесиб 2026, отборочный этап, 11 класс, задача 2
( баллов) На отрезке с центром , как на диаметре, построена полуокружность. На ней взята произвольная точка , отличная от и , и отмечена точка , являющаяся серединой дуги полуокружности. При этом считаем, что дуга меньше дуги . Точка пересечения прямой с прямой, параллельной , и проходящей через , обозначена через . Докажите, что справедливо равенство .
Ответ
Доказательство. Дуга меньше градусов, следовательно прямая пересекает прямую на продолжении за точку , а прямая, параллельная и проходящая через , пересекает прямую в точке на отрезке (внутри полукруга с диаметром ). Стороны и треугольника являются радиусами полуокружности, поэтому равнобедренный, обозначим величину угла при его вершине за . По условию, дуги и равны, поэтому треугольник равен треугольнику и величина угла тоже равна . Угол является вписанным, соответствующим центральному углу , поэтому его величина равна половине величины , то есть . В равнобедренном треугольнике угол равен . Следовательно, накрест лежащие углы и равны, поэтому прямые и параллельны, как и прямые и по условию, и четырёхугольник является параллелограммом. Тогда его противоположные углы и равны. С другой стороны, углы и равны, как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых и , а углы и равны, как углы при основании равнобедренного треугольника . Следовательно, равны углы и треугольник равнобедренный с равными сторонами и , что и требовалось доказать.