Всесиб 2024, отборочный этап, 10 класс, задача 3
( баллов) Пусть — остроугольный треугольник такой, что , а — центр его описанной окружности. Прямые и вторично пересекаются с описанной окружностью треугольника в точках и соответственно. Докажите, что прямые и перпендикулярны.
Ответ
Доказательство. Заметим, что наибольшим углом треугольника является , средним — и меньшим — . Дальше будем обозначать величины углов треугольника буквами соответствующих им вершин, . Докажем, что точка лежит на стороне , а точка — на продолжении стороны за вершину .
Обозначим за центр описанной окружности равнобедренного треугольника . В описанной окружности треугольника центральный вдвое больше вписанного , а в равнобедренном треугольнике угол при основании равен минус половину , то есть . Аналогично, равен , треугольник равнобедренный, поэтому равен . В равнобедренном треугольнике углы равны . В сумме равен сумме и , то есть , поэтому точка пересечения описанной окружности треугольника с прямой лежит на стороне . Аналогично, равен , поэтому точка пересечения описанной окружности треугольника с прямой лежит на продолжении стороны за вершину .
Осталось заметить, что равен , а равен , как вписанный в окружность и опирающийся там на хорду , как и . Следовательно, угол между и равен
что и требовалось доказать.