Всесиб 2023, отборочный этап, 11 класс, задача 3
( баллов) Доказать, что для любых трёх положительных действительных чисел выполнено неравенство
Указать все тройки , для которых в нём достигается равенство.
Ответ
Ответ. Все тройки положительных чисел , являющихся длинами сторон равнобедренного прямоугольного треугольника с катетами , то есть тройки , .
Доказательство.
1. Заметим, что, если являются длинами сторон некоторого треугольника, то есть когда каждая из трёх последних скобок произведения в правой части положительна, в правой части ввиду формулы Герона записано число , где — площадь этого треугольника. Следовательно, в этом случае неравенство из условия эквивалентно неравенству , где — длины некоторых двух сторон треугольника. Последнее неравенство следует из того, что
где — угол между сторонами длин и . Заметим, что знак равенства в неравенстве возможен только когда
и
то есть когда — длины сторон равнобедренного прямоугольного треугольника с катетами , .
2. Пусть теперь положительные числа не являются длинами сторон никакого треугольника, тогда ровно одна из скобок в произведении в правой части не положительна — та, которая соответствует вычитанию наибольшего из этих чисел. Следовательно, в этом случае произведение в правой части неравенства будет не положительно, а выражение в правой — положительно, поэтому неравенство выполняется и в этом случае. При этом и равенство не достигается.