Всесиб 2023, отборочный этап, 11 класс, задача 2
( баллов) Найти все четвёрки действительных чисел таких, что
Ответ
Ответ. бесконечных серий решений, получающихся умножением каждой из четвёрок
на любое действительное число.
Решение. Вычитая первое выражение из третьего, получим , вычитая четвёртое выражение из второго, получим .
1. Если одно из переменных, скажем , равно , то одно из равно и одно из равно . В случае будет и тогда все четыре выражения в условии равны и между собой. Если же , то и одно из равно , то есть снова три из переменных равны . Аналогично, все четвёрки, в которых три переменных равны , а четвёртое произвольно, являются решениями задачи.
2. Далее все не равны . Тогда, перемножив равенства и и сократив на , получим , то есть . Обозначим , , тогда и . Подставим полученные выражения в равенства из условия, получим
из которых второе и третье следуют из первого .
3. Если , то и , . В этом случае получаем четвёрку чисел — решение, когда либо все числа равны (при ), либо четвёрку , когда каждая из сумм равна (при ).
4. Если , то
В этом случае получаем две четвёрки решений: и .
В итоге система уравнений из условия имеет бесконечных серий решений, получающихся умножением каждой из четвёрок
на любое действительное число.