Всесиб 2024, отборочный этап, 11 класс, задача 2

Ответ. Условием разрешимости системы будет неравенство . При этом количество решений будет следующим:

1) При решение единственно: .

2) При решений будет два:

3) При решений будет пять:

и

4) При и будет восемь решений:

и

с согласованным выбором знаков и в каждом случае.

5) При будет пять решений:

Решение. Приведём сначала решение только пункта а), не приводящее к решению пункта б). Сложим все уравнения системы и представим результат как сумму значений квадратичной функции при , и соответственно:

Минимум функции достигается при и равен , поэтому неравенство является необходимым условием разрешимости системы. С другой стороны, если , то уравнение имеет хотя бы одно решение , тогда тройка будет решением системы.

Теперь приведём полное решение задачи. Вычтем первое уравнение системы из второго, получим

откуда либо , либо . Аналогично, вычитая второе уравнение из третьего, получим либо , либо , а, вычитая третье уравнение из первого, что либо , либо . Для каждой из трёх пар переменных выполнено равенство одного из двух типов, значит, в двух парах типы равенств совпадают. Если это два равенства первого типа, то все переменные равны и являются одним из решений уравнения с корнями

Необходимым и достаточным условием существования решения системы в данном случае является неотрицательность дискриминанта полученного квадратного уравнения, то есть условие .

Если общими являются два равенства второго типа, например, и , то и , подставляем в систему:

Тогда

условием разрешимости системы в данном случае является неравенство , которое сильнее первого неравенства . Следовательно, условием разрешимости всей системы, то есть существования хоть одного решения, является более слабое из этих неравенств, то есть . Второе неравенство даёт при серии решений с несовпадающими значениями переменных, которых не может быть при . С учётом того, что равными в этом случае можно считать любую из трёх пар переменных, мы получим здесь три пары решений

с согласованным выбором знаков и в каждом случае, назовём их плюсовыми и минусовыми решениями соответственно.

Однако есть ещё одна тонкость: шесть последних решений очевидно отличаются от двух ранее найденных, если в них не все переменные равны. Проверим, всегда ли это так.

а) В сериях со знаком «плюс»

Тогда сами эти решения равны (вся серия из трёх плюсовых решений склеилась в одно) и , , ( минусовых решения). В первых двух сериях с равными переменными при получим решения , , второе из которых уже есть в плюсовой серии.

б) В сериях со знаком «минус»

что невозможно, поэтому минусовые серии не склеиваются между собой и отличны от первых двух серий.

Следовательно, при получим пять решений , , , , .

И в последнем случае, когда , решений будет пять: и , , — каждая из трёх пар плюсовых и минусовых решений склеится в одно.