Всесиб 2025, отборочный этап, 11 класс, задача 4

Ответ. .

Решение. Докажем сначала, что в решении данной системы значения всех переменных должны быть одного знака. Действительно, если тройка — решение системы, то и тройка — решение системы, поэтому можно считать, . Если при этом , то в первом уравнении левая часть отрицательна, а правая — положительна, противоречие. Если , , то в третьем уравнении левая часть отрицательна, а правая — положительна, противоречие. Если же , , то во втором уравнении левая часть отрицательна, а правая — положительна, противоречие.

Пусть теперь значения всех переменных положительны. Ввиду цикличности системы относительно переменных, можно считать, что — меньшая из них. Рассмотрим сначала случай . Тогда из первых двух уравнений следует, что , откуда , что вместе с предположением даёт .

Теперь рассмотрим случай . Тогда из второго и третьего уравнений следует, что , откуда , что, вместе с предположением , снова даёт . Подставим это в первое уравнение, получим , .