Всесиб 2026, отборочный этап, 11 класс, задача 4
( баллов) Функция определена для всех действительных чисел, принимает действительные значения и отлична от константы. Докажите, что существуют различные действительные числа такие, что .
Ответ
Доказательство. Поскольку функция не является константой, то существуют числа такие, что . Попытаемся отыскать подходящие различные числа такие, что Они должны быть корнями квадратного уравнения с дискриминантом . Если , то при произвольном дискриминант положителен, и искомые являются двумя различными корнями рассматриваемого квадратного уравнения . Поэтому дальше можно считать, что для всех неположительных значений переменной , значение не больше, чем значения этой функции для всех действительных значений переменной. Следовательно, при всех неположительных значениях функция принимает одно и то же значение , являющееся минимальным для неё на всей действительной прямой. Ввиду того, что не является константой, найдётся такое , что . Теперь осталось выбрать достаточно большое по модулю отрицательное число такое, что . Дискриминант положителен, поэтому искомые в условии числа являются двумя различными корнями рассматриваемого квадратного уравнения . Доказательство завершено.