Всесиб 2023, отборочный этап, 11 класс, задача 4
( баллов) Неправильный шестиугольник , у которого стороны , и равны, вписан в окружность с центром , вершины располагаются на окружности по часовой стрелке в алфавитном порядке. Обозначим точку пересечения диагоналей и за , диагоналей и — за , а диагоналей и — за . Докажите, что треугольники и подобны.
Ответ
Доказательство.
1. Из равенства сторон , и следует, что треугольник получается из треугольника поворотом относительно , поэтому данные треугольники равны.
2. В четырёхугольнике углы и равны, как соответственные углы равных треугольников и , поэтому он является вписанным. Аналогично, вписанными являются и четырёхугольники и .
3. Обозначим величину угла за . Четырёхугольник вписанный, поэтому противоположный угол равен . Четырёхугольник тоже вписанный (в исходную окружность), поэтому углы и равны, как опирающиеся на общую хорду , поэтому угол равен . Но и четырёхугольник вписанный, поэтому в нём угол , противоположный углу , равен . Отсюда следует равенство углов и .
4. Обозначим величину угла за . Четырёхугольник вписанный, поэтому углы и равны , как опирающиеся на общую хорду . Переходя ко вписанному в исходную окружность четырёхугольнику , получаем равенство вписанных углов и , опирающихся на общую хорду . Наконец, во вписанном четырёхугольнике имеем равенство вписанных углов и , опирающихся на общую хорду .
5. Из треугольника следует, что величина угла равна . С другой стороны, сумма углов , и равна , и, как мы уже доказали, величины углов и равны и соответственно. Следовательно, величина угла одноименного треугольника равна величине угла треугольника , что равно и углу одноименного треугольника. Аналогично доказываются равенство углов и , и равенство углов и . Следовательно, треугольники и подобны по трём углам, что и требовалось доказать.