Всесиб 2025, отборочный этап, 11 класс, задача 3
( баллов) В треугольнике серединные перпендикуляры к биссектрисам углов и пересекаются на стороне . Доказать, что .
Ответ
Доказательство. Обозначим точки пересечения сторон и биссектрисами углов и соответственно за и , а точку пересечения серединных перпендикуляров к биссектрисам и на стороне за . В равнобедренном треугольнике величины углов при вершинах и равны половине угла исходного треугольника, поэтому его внешний угол равен углу . Следовательно, треугольник подобен исходному треугольнику . Аналогично, в равнобедренном треугольнике величины углов при вершинах и равны половине угла исходного треугольника, поэтому его внешний угол равен углу . Следовательно, треугольник подобен исходному треугольнику .
Обозначим длины сторон , , за , , соответственно, тогда, ввиду свойства биссектрисы, , поэтому , . Тогда коэффициент подобия треугольников и равен . Аналогично, , поэтому , . Тогда коэффициент подобия треугольников и равен .
Сумма длин и равна , поэтому сумма коэффициентов подобия равна , следовательно: . Тогда , после приведения подобных получим , что и требовалось доказать.