ВсОШ 2026, 11 класс, задача 4
( баллов) У Пети есть натуральное число . Он рассматривает все пары цифр числа , одна из которых четная, а другая нечетная, и записывает на доску произведение цифр в каждой паре.
Например, если бы у него было число , то на доске были бы записаны числа , , и .
Оказалось, что сумма чисел на доске равна . Какое минимальное могло быть у Пети?
Ответ
Ответ: .
Решение. Пусть — все четные цифры числа , а — все нечетные цифры числа . Тогда у Пети на доске написаны числа
сумма которых равна , причем первый множитель является чётным. Заметим, что имеет два разложения на множители: и .
В первом случае мы получаем, что наше число содержит двоек и одну единицу, минимальное такое число равно .
Во втором случае мы получаем, что наше число содержит одну двойку, а также несколько нечетных чисел, в сумме дающих . Наименьшее количество слагаемых, их которых можно получить , равно трем. Минимизируя первые цифры, представим в виде суммы , и . Таким образом, получаем ответ .
Верное решение.