ВсОШ 2026, 10 класс, задача 7
( баллов) У Маши есть книги с номерами от до и очень длинная книжная полка. Сначала Маша поставила книгу номер на полку. Далее Маша каждый раз берёт книгу со следующим номером и ставит её непосредственно справа от книги с номером , где — наибольший собственный делитель . Так продолжается, пока Маша не поставит все книги.
(а) ( балла) Чему равен номер книги справа от книги с номером ?
(б) ( баллов) Чему равен номер книги слева от книги с номером ?
Напомним, что собственным делителем числа называется всякий его делитель, отличный от самого числа.
Ответ
Ответ: а) , б) .
Решение. (а) Сначала справа от будут какие-то числа, пока какое-то число не встанет непосредственно справа от . Это будет число, у которого наибольший собственный делитель равен . Это число имеет вид . Заметим, что , поскольку иначе у числа будет делитель . При этом если или , то наибольший собственный делитель как раз будет равен . Значит, сначала справа от Маша поставит , а потом справа от Маша поставит . Больше справа от Маша ничего не поставит, поэтому в конце справа от будет .
(б) Когда Маша поставит число , она поставит его справа от . Значит, в дальнейшем книга слева от будет обновляться, когда справа от левого соседа что-то ставят. Справа от сначала поставится , но это будет до того как поставится , а после этого момент первая книга, которая поставится, будет (т.к. поставится справа от ). Далее за первая книга, которая поставится, будет . Далее аналогично её номер будет увеличиваться в раза, пока это возможно. Получим последовательность . Значит, в конце слева от будет стоять .
Верное решение.